Equazione fratta

Un'equazione si definisce frazionaria (o fratta) se è composta da almeno una frazione algebrica o, più semplicemente, se l'incognita ${\displaystyle x}$ compare a denominatore.^[1] Un'equazione frazionaria univariata è della forma:

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=0,}$

dove ${\displaystyle P(x)}$ e ${\displaystyle Q(x)}$ sono polinomi generici, in questo caso, nella variabile ${\displaystyle x.}$

Il grado di ogni polinomio che si trova al denominatore della frazione algebrica deve essere sempre maggiore di zero, altrimenti l'equazione si trasformerebbe in un'equazione intera. A esempio, data l'equazione:

${\displaystyle {1 \over 4x-2}=0,}$

il grado del denominatore è ${\displaystyle 1.}$

La procedura risolutiva è la seguente:^[2]

• si riducono i denominatori dell'equazione a fattori irriducibili (o, come si suol dire, "ai minimi termini") mediante fattorizzazione, utilizzando i prodotti notevoli e i raccoglimenti;
• si trovano le condizioni di esistenza dell'equazione, imponendo che ciascun fattore al denominatore sia diverso da zero;
• si effettuano passaggi algebrici affinché si possa avere una o più equazioni equivalenti a quella di partenza (cioè equazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni);
• si riduce il tutto a una semplice equazione intera;
• si cerca la soluzione.

Il campo di esistenza è l'insieme dei valori dell'incognita (o incognite) per i quali la frazione non perde significato. A esempio, se in ${\displaystyle {\frac {1}{x-1}}=0}$ il valore di ${\displaystyle x}$ fosse ${\displaystyle 1,}$ allora si avrebbe come denominatore ${\displaystyle 0}$ e la frazione non avrebbe significato. È quindi necessario porre come campo di esistenza ${\displaystyle x\neq 1.}$

Data l'equazione fratta:

${\displaystyle {6 \over {x^{2}-9}}+{1 \over {x+3}}={1 \over 2},}$

notare anzitutto che dovrà essere ${\displaystyle x\neq \pm 3.}$ Moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo ${\displaystyle 2(x^{2}-9),}$ si ottiene così l'equazione di secondo grado:

${\displaystyle 12+2(x-3)=(x^{2}-9)\,\Rightarrow \,x^{2}-2x-15=0,}$

che ha le due soluzioni ${\displaystyle x=5}$ e ${\displaystyle x=-3.}$ La seconda soluzione, però, annulla i due denominatori dell'equazione originale, e pertanto deve essere scartata. Quindi l'unica soluzione dell'equazione originale è ${\displaystyle x=5.}$

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

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• Equazione
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