Distribuzione logaritmica

Disambiguazione – Se stai cercando la distribuzione in funzione del logaritmo della prima cifra di un numero, vedi Legge di Benford.

Distribuzione logaritmica
Funzione di probabilità discreta
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle p\in ]0,1[\ }$
Supporto	${\displaystyle \mathbb {N} \setminus \{0\}=\{1,2,3,...\}}$
Funzione di densità	${\displaystyle {\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}{\frac {p^{n}}{n}}}$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} _{b}(n+1,0)}{\ln(1-p)}}}$ con ${\displaystyle \mathrm {B} _{p}}$ la funzione Beta incompleta
Valore atteso	${\displaystyle {\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}{\frac {p}{1-p}}}$
Moda	${\displaystyle 1\ }$
Varianza	${\displaystyle -p{\frac {p+\log(1-p)}{(1-p)^{2}(\log(1-p))^{2}}}}$
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle {\frac {\log(1-pe^{t})}{\log(1-p)}}}$
Funzione caratteristica	${\displaystyle {\frac {\log(1-pe^{it})}{\log(1-p)}}}$
Manuale

In teoria delle probabilità la distribuzione logaritmica (o della serie logaritmica) è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri interi positivi che esprime lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo naturale,

${\displaystyle \log(1-x)=-{\Big (}x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+...{\Big )}}$.

La distribuzione venne descritta da Ronald Fisher in uno studio sulla genetica delle popolazioni.^[1]

La distribuzione logaritmica di parametro ${\displaystyle p\in ]0,1[}$ attribuisce le probabilità

${\displaystyle P(n)={\frac {1}{-\log(1-p)}}{\frac {p^{n}}{n}}={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}{\frac {p^{n}}{n}}}$ per ${\displaystyle n>0}$.

Siccome la serie di Taylor (o di Maclaurin) di ${\displaystyle -\log(1-x)}$ ha raggio di convergenza 1, la probabilità totale è 1.

La funzione di ripartizione è

${\displaystyle F(n)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(n+1,0)}{\log(1-p)}}}$,

dove ${\displaystyle \mathrm {B} _{p}}$ è la funzione Beta incompleta.

Una variabile aleatoria ${\displaystyle X}$ con distribuzione logaritmica di parametro ${\displaystyle p}$ ha

• momenti semplici

${\displaystyle \mu _{k}=E[X^{k}]={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}\sum _{n>0}n^{k-1}p^{k}}$,

tramite i quali si possono esprimere

• la speranza matematica

${\displaystyle E[X]={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}{\frac {p}{1-p}}}$

• e la varianza

${\displaystyle {\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}={\frac {1}{-(1-p)^{2}\log(1-p)}}-{\Big (}{\frac {p}{-(1-p)\log(1-p)}}{\Big )}^{2}}$.

La funzione generatrice dei momenti è

${\displaystyle g_{X}(t)=E[e^{tX}]={\frac {1}{-\log(1-p)}}\sum _{n>0}{\frac {(pe^{t})^{n}}{n}}={\frac {\log(1-pe^{t})}{\log(1-p)}}}$.

Inoltre siccome la funzione ${\displaystyle p^{n}/n}$ è decrescente, ${\displaystyle P(n)}$ assume il valore massimo in 1, la moda.

La distribuzione logaritmica di parametro ${\displaystyle p}$ soddisfa la ricorsione di Panjer

${\displaystyle P(n)=(p+{\tfrac {-p}{n}})P(n-1)}$ per ${\displaystyle n>1}$

ma è limitata al supporto ${\displaystyle \mathbb {N} \setminus \{0\}}$. (La distribuzione di Panjer con gli stessi parametri definisce una distribuzione degenere, con ${\displaystyle P(1)=(p-p)P(0)=0}$.)

Se la variabile aleatoria ${\displaystyle N}$ segue una distribuzione di Poisson allora la somma di ${\displaystyle N}$ variabili aleatorie indipendenti ${\displaystyle X_{1},...,X_{N}}$ con una stessa distribuzione logaritmica,

${\displaystyle X_{1}+...+X_{N}}$,

segue una distribuzione di Pascal (o binomiale negativa).

In altri termini, la distribuzione di Pascal è una distribuzione composta di Poisson della distribuzione logaritmica.

• Distribuzione composta di Poisson
• Distribuzione di Panjer
• Logaritmo
• Serie di Taylor
• Sviluppo in serie

• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione logaritmica, su MathWorld, Wolfram Research.

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