Distribuzione discreta

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In teoria delle probabilità una distribuzione discreta è una distribuzione di probabilità definita su un insieme discreto S. In particolare questo insieme può essere finito oppure numerabile (i suoi elementi possono essere elencati tramite i numeri naturali: ${\displaystyle S=\{s_{0},s_{1},s_{2},...\}}$).

Una variabile aleatoria (o stocastica, o casuale dall'inglese random) è discreta se segue una distribuzione di probabilità discreta.

Se l'insieme S è contenuto nei numeri reali, si può definire la funzione di ripartizione della distribuzione, che assume valori su S; se viene rappresentata su tutti numeri reali allora acquista la forma di una funzione a gradini, costante sugli intervalli semiaperti ${\displaystyle [s_{n},s_{n+1}[}$.

Particolari distribuzioni discrete di probabilità sono:

• la distribuzione discreta uniforme,
• la distribuzione binomiale,
• la distribuzione di Bernoulli,
• la distribuzione di Poisson (o degli eventi rari),
• la distribuzione geometrica,
• la distribuzione di Pascal,
• la distribuzione ipergeometrica,
• la distribuzione di Wilcoxon,
• la distribuzione di Benford (o della prima cifra),
• la distribuzione di Kolmogorov-Smirnov,
• la distribuzione di Spearman,
• la distribuzione di Rademacher
• la distribuzione binomiale negativa

Un caso particolare è la distribuzione degenere su un solo elemento: ${\displaystyle S=\{s\}}$ e ${\displaystyle P(s)=1}$.

Anche le distribuzioni su più dimensioni (multivariate) possono essere discrete, come la distribuzione multinomiale.

La tabella seguente riassume le proprietà delle distribuzioni discrete più comuni, si intende ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}:=\{1,2,\ldots \}}$ e ${\displaystyle \mathbb {N} :=\mathbb {N} ^{+}\cup \{0\}}$

Distribuzione	Parametri	Supporto	Funzione di probabilità	Valore atteso	Varianza
Bernoulliana	${\displaystyle p\in [0,1]}$	${\displaystyle \{0,1\}}$	${\displaystyle P(0)=1-p,\;P(1)=p}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle p(1-p)}$
Uniforme	${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$	${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$	${\displaystyle P(k)={\frac {1}{n}}}$	${\displaystyle (n+1)/2}$	${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{12}}}$
Geometrica	${\displaystyle p\in \;]0,1[}$	${\displaystyle \mathbb {N} }$	${\displaystyle P(k)=p(1-p)^{k-1}}$	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}$
Binomiale	${\displaystyle p\in [0,1],\;n\in \mathbb {N} }$	${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n\}}$	${\displaystyle P(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$	${\displaystyle np}$	${\displaystyle np(1-p)}$
di Pascal	${\displaystyle p\in [0,1],\;n\in \mathbb {N} }$	${\displaystyle \mathbb {N} }$	${\displaystyle P(k)={\binom {-n}{k}}p^{k}(p-1)^{n-k}}$	${\displaystyle n\left({\frac {1}{p}}-1\right)}$	${\displaystyle n\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}\right)}$
Ipergeometrica	${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\;r,h\in \{0,1,\ldots ,n\}}$	${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n\}}$	${\displaystyle P(k)={\frac {{\binom {h}{k}}{\binom {n-h}{r-k}}}{\binom {n}{r}}}}$	${\displaystyle {\frac {rh}{n}}}$	${\displaystyle {\frac {r(n-r)h(n-h)}{n^{2}(n-1)}}}$

• Distribuzione continua
• Distribuzione di probabilità
• Funzione di ripartizione

• (EN) discrete random variable, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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