Discussione:Numero reale

Se qualcuno più esperto in matematica di me vuole dare un'occhiata, è il benvenuto. --Sbisolo 11:02, Giu 6, 2004 (UTC)

Io sistemo qua e la qualche assioma ma per il resto mi sembra completo -- Utente:Djdomix

Ho tolto il testo presente in "il campo con ordinamento totale", che copio qui sotto: tradotto dall'inglese, divaga su cose che non c'entrano e ripete male cose gia' dette. Ho ripreso e riformulato dal testo l'assioma archimedeo.

I numeri reali sono spesso descritti come "il campo con ordinamento totale", una frase che può essere interpretata in diversi modi.

Prima di tutto, un insieme ordinato può essere un reticolo completo. È facile vedere che nessun campo ordinato può essere un reticolo completo, perché può non avere l'elemento massimo (dato un elemento z, z + 1 è più grande), quindi non è questo il senso corretto.

In secondo luogo, un ordinamento può essere Dedekind-completo, come definito nella sezione Assiomi. L'unicità del risultato al termine di questa sezione giustifica l'uso della parola "il" nella frase "campo con ordinamento totale" quando questo è il senso di "totale" che intendiamo. Questo significato di totalità è quello più correlato con la costruzione dei numeri reali a partire dalle sezioni di Dedekind, dal momento che la costruzione parte da un campo ordinato (i razionali) e poi si arriva alla completezza di Dedekind di esso in modo standard.

Queste due nozioni di completezza ignorano la struttura del campo. In ogni modo, un gruppo ordinato (e un campo è un gruppo con le operazioni di somma e sottrazione) definisce una struttura uniforme e le strutture uniformi sono dotate del concetto di completezza; la descrizione nella sezione Completezza è un caso particolare. (Ci riferiamo alla completezza negli spazi uniformi e non a quella maggiormente conosciuta per gli spazi metrici, poiché la definizione di spazio metrico ha a che fare con una proprietà caratteristica dei numeri reali). Non è vero che R è l'unico campo uniformly complete ordered, ma è l'unico campo ordinato completo dotato della proprietà di Archimede, quindi si può sentire spesso la frase "campo completo di Archimede" invece di "campo ordinato completo".
L'assioma di Archimede è definito nel seguente modo: Se ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle x\,>\,0}$ esiste allora un multiplo intero ${\displaystyle nx}$ del numero ${\displaystyle x}$ tale che ${\displaystyle (n-1)x\leq y}$ e ${\displaystyle nx\geq y}$.
Poiché si può dimostrare che ogni campo di Archimede uniformemente completo è anche completo secondo Dedekind (e vice versa), questo giustifica l'uso di "il" nella frase "il campo completo di Archimede". Questo significato di completezza è quello più correlato con la costruzione dei numeri reali a partire dalle serie di Cauchy (la costruzione è riportata in questo articolo), poiché comincia con un campo dotato della proprietà di Archimede (i razionali) e costruisce la completezza uniforme nel modo standard.

L'uso originale della frase "campo completo con la proprietà di Archimede" fatto da David Hilbert, aveva uno scopo ancora diverso dai precedenti. Egli voleva dire che i numeri reali formano il più grande campo con la proprietà di Archimede nel senso che ogni altro campo con la proprietà di Archimede è contenuto in R. Quindi R è "completo" nel senso che nulla può essere aggiunto ad esso senza smettere di soddisfare ancora la proprietà di Archimede. Questo significato di completezza è il più vicino alla costruzione dei numeri reali a partire dai numeri surreali, poiché la costruzione comincia con una classe che contiene ogni campo ordinato (i surreali) e seleziona da essa il più grande sottocampo con la proprietà di Archimede.

Ci vorrebbe una sezione in cui si definiscono le usuali nozioni di insiemi aperti e chiusi in R.--Pokipsy76 11:11, 26 mag 2006 (CEST)[rispondi]

...come sono stati definiti "i numeri algebrici, che comprendono tutti i numeri scrivibili con operazioni algebriche elementari e radici". Scrivibili? È sbagliato fare riferimento alla soluzione di equazioni algebriche? Troviamo una descrizione migliore. Inoltre dire dire che i numeri algebrici comprendono ecc. lascia intendere che i numeri algebrici siano un sovrainsieme di ecc. Meglio dire "i numeri algebrici, che sono" ecc. --Mv 16:14, 7 set 2006 (CEST)[rispondi]

Quella non è una definizione, è solo un esempio. I numeri algebrici comprendono i numeri scrivibili in quel modo, ma ne contengono anche altri. Scrivere "che sono tutte le radici di equazioni algebriche" è più completo, ma rischia di essere meno chiaro per il neofita, che conosce "radice di due" ma non sa cos'è un'equazione algebrica (= equazione a coefficienti interi). Lo dico solo per motivare la frase che c'è ora, non sono sicuro che sia la migliore. :-) Ylebru dimmela 19:17, 7 set 2006 (CEST)[rispondi]

Mah, potremmo dire?

i numeri algebrici, che comprendono tutti i numeri esprimibili tramite operazioni algebriche elementari e radici,..GIM

"esprimibili" è sicuramente meglio che "scrivibili", farei questa modifica anche nella frase sulle frazioni. Ylebru dimmela 21:58, 7 set 2006 (CEST)[rispondi]

Commento le ultime modifiche:

• Ho tolto il paragrafo "Definizione con le serie decimali" perché ripete quanto scritto appena sotto in "Rappresentazione decimale". Contiene inoltre un errore: non è necessaria la presenza di un algoritmo. Anzi, la maggior parte dei numeri reali non ha algoritmi (perché tramite algoritmi si ottengono solo una quantità numerabile di numeri).
• Le troncate altro non sono che un'approssimazione della scrittura decimale. Quindi non fa parte delle "altre notazioni" preferite dai matematici.
• Sezione "Operazioni mediante approssimazione decimale finita": in effetti forse manca una sezione che introduca le operazioni. Però va resa più chiara.
• Ho tolto la parte aggiunta in fondo alla sezione storica: lì si parla di storia, e inoltre mi sembra che confonda due nozioni diverse (quella di serie e quella di rappresentazione decimale).

Ylebru dimmela 22:39, 19 feb 2007 (CET)[rispondi]

la voce "Numero positivo" fa redirect a questa pagina, "Numero reale", ma non ne vedo il motivo data la quasi totale incoerenza tra le voci. secondo voi dovrebbe essere eliminato questo redirect?

Vedo due possibilità:

1. aggiungiamo un paragrafino dove si scrive che un numero reale positivo è un numero reale maggiore di zero, ed un negativo è minore di zero, e si lascia il redirect
2. togliamo il redirect, e scriviamo una voce numero positivo.

Ylebru dimmela 16:24, 2 ago 2007 (CEST)[rispondi]

Vorrei proporre un Template per gli insiemi numerici in cui c'è il disegno dello schema degli insiemi numerici e poi se clicci su un insieme vai direttamente alla pagina, una cosa simile a il Template:Infobox elemento chimico/mini tavola periodica che potete vedere ad esempio sulla voce idrogeno, e poi sotto possiamo indicare la lettera con cui viene indicato l'insieme, il primo a catalogarli, le operazioni le quali danno sempre come risultato un numero dello stesso insieme ad esempio (nell'insieme ${\displaystyle \mathbb {N} }$ le operazioni sono:${\displaystyle +}$;${\displaystyle \times }$;${\displaystyle -}$ con il minuendo maggiore del sottraendo) ecc...-- PAD11 21:06, 19 set 2010 (CEST)[rispondi]

Ciao, il posto giusto dove chiedere è al Progetto:Matematica. Ylebru dimmela 10:25, 20 set 2010 (CEST)[rispondi]

Grazie!!!-- PAD11 14:24, 20 set 2010 (CEST)[rispondi]

Dopo l'insieme dei numeri algebrici, viene citato un insieme senza nome, con la descrizione "alcuni numeri molto particolari, che non sono contenuti negli insiemi precedenti, come e e π."

Questi numeri un nome ce l'hanno: sono i numeri trascendenti, e sono definiti come i numeri che non possono essere radice di alcuna equazione a coefficienti razionali.

Inoltre, sono molto più di "alcuni numeri". Infatti, la frase successiva è sbagliata: "Questi insiemi, benché infiniti, hanno tutti cardinalità numerabile e sono quindi un'infinitesima[non chiaro] parte dell'insieme dei numeri reali". Questa frase è sbagliata, perché sembra far intendere che tutti gli insiemi sopracitati abbiano cardinalità numerabile (Aleph 0), ma che per magia se si mettono insieme formano l'insieme dei numeri reali, che ha cardinalità del continuo (Aleph 1).

Non è così: i numeri trascendenti hanno cardinalità del continuo, ed è per questo che i numeri reali hanno cardinalità continua Stevedl97 (msg) 19:54, 6 dic 2021 (CET)[rispondi]

Ho provato a scrivere meglio.--Mat4free (msg) 22:42, 6 dic 2021 (CET)[rispondi]

Ho cercato ulteriormente, adesso sono abbastanza sicuro che la divisione corretta sia questa, perché a quanto pare i modi possibili per partizionare R sono due (razionali vs irrazionali e algebrici vs trascendenti). Ho modificato anche il discorso sulla cardinalità ma ancora non mi soddisfa, sono indeciso se rimuoverlo o espanderlo di più. --Stevedl97 (msg) 18:46, 7 dic 2021 (CET)[rispondi]

Ovviamente ci sono infiniti modi per partizionare R, non solo due, ma diciamo che questi due sono i più usati. Comunque nella voce si elencano alcuni sottoinsiemi "importanti" non necessariamente partizioni di R. Mi sembra comunque meglio come è ora. Io non la toglierei la parte sulla cardinalità, ma forse la spiegherei meglio, ma non credo di averne il tempo.--Mat4free (msg) 13:48, 8 dic 2021 (CET)[rispondi]