Decadimento esponenziale

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Una quantità è soggetta a decadimento esponenziale se diminuisce a una velocità proporzionale al suo valore corrente.

Data una quantità il cui valore è N(t) al tempo t, il decadimento esponenziale in funzione del tempo è espresso dall'equazione differenziale

${\displaystyle {\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t).}$

dove λ è un numero detto costante di decadimento. La soluzione di questa equazione è:^[1]

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}.}$

dove ${\displaystyle N(t)}$ è la quantità al tempo ${\displaystyle t}$, e ${\displaystyle N_{0}=N(0)}$ è la quantità iniziale, al tempo ${\displaystyle t=0}$.

In alternativa si può scrivere

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau }}$

dove:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}}$

è detta costante di tempo ed è il tempo necessario a ridurre la quantità iniziale di circa il 63,21%.

L'equazione che descrive il decadimento esponenziale si può scrivere

${\displaystyle {\frac {dN(t)}{N(t)}}=-\lambda \,dt}$

integrando si ottiene

${\displaystyle \ln N(t)=-\lambda t+C}$

dove C è la costante di integrazione, e quindi

${\displaystyle N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}}$

dove la sostituzione finale ${\displaystyle N_{0}=e^{C}}$ è ottenuta valutando l'equazione al tempo ${\displaystyle t=0}$. Inoltre λ è l'autovalore dell'operatore differenziale con ${\displaystyle N(t)}$ la relativa autofunzione. Il decadimento si misura in s⁻¹.

Dato un insieme di elementi, il cui numero decresce col tempo fino a diventare nullo, la vita media ${\displaystyle \tau }$ è il valore atteso del tempo che un elemento resta nell'insieme prima di esserne rimosso.

Data la quantità di elementi

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}}$

si ha:

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}$

con c costante di normalizzazione:

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}}$

Si nota che il decadimento esponenziale è un multiplo della distribuzione esponenziale, che ha un valore atteso ben noto. Usando l'integrazione per parti:

${\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}}$

Una quantità può decadere passando per due o più processi contemporaneamente, che in generale hanno differenti probabilità di verificarsi. Il valore di N è dato dalla somma dei possibili percorsi, e nel caso di due processi:

${\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.}$

La soluzione è data nel paragrafo precedente, dove la somma dei ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}}$ è trattata come una nuova costante di decadimento totale ${\displaystyle \lambda _{c}}$.

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.}$

Dal momento che ${\displaystyle \tau =1/\lambda }$:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.\,}$

Un parametro caratteristico del decadimento esponenziale è il tempo di dimezzamento, definito come il tempo occorrente per ridurre la quantità del 50%. Esso è legato alla costante di tempo dalla formula:

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \ln 2}$

La formula si ricava partendo dalla legge del decadimento radioattivo:

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}}$

Definendo ${\displaystyle t_{1/2}}$ in tempo in cui il numero ${\displaystyle N_{0}}$ si dimezza, si pone:

${\displaystyle N(t_{1/2})=N_{0}e^{-\lambda t_{1/2}}={\frac {N_{0}}{2}}}$

Esplicitando ${\displaystyle t_{1/2}}$ si ottiene la formula del tempo di dimezzamento.

Nel caso di due processi si ha

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}\,={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}$

dove ${\displaystyle t_{1}}$ è il tempo di dimezzamento del primo processo, e ${\displaystyle t_{2}}$ del secondo.

Nel caso di tre processi, infine:

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}}$

• In un radionuclide che subisce un decadimento radioattivo con cui acquista un differente stato, il numero di atomi nello stato originale segue un decadimento esponenziale.
• Se un oggetto ad una temperatura è immerso in un mezzo a temperatura differente, il calo di temperatura segue un decadimento esponenziale.
• Nei circuiti RC la carica elettrica contenuta in un condensatore carico e posto su una resistenza decade esponenzialmente; in questo caso la costante di tempo è τ = R·C^[2]

• Funzione esponenziale

• (EN) exponential decay, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Decadimento esponenziale, su MathWorld, Wolfram Research.

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