Carica di un condensatore

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Voce principale: Condensatore (elettrotecnica).

La carica di un condensatore in un circuito elettrico è il processo mediante il quale le cariche si accumulano sulle armature di questo componente in seguito all'applicazione di una differenza di potenziale. La corrente elettrica e le leggi di Kirchhoff valgono esattamente solo quando le condizioni sono stazionarie, cioè quando le grandezze in gioco non dipendono dal tempo. Necessariamente però queste condizioni sono ideali: fortunatamente le leggi che ci interessano valgono anche per quelle condizioni che vengono dette quasi-stazionarie, cioè che variano così lentamente nel tempo che le leggi continuano a valere. Uno di questi casi notevoli è la carica e la scarica di un condensatore.

Si consideri un circuito come quello in figura con il generatore di forza elettromotrice f che mantiene ai suoi capi una tensione ${\textstyle {\mathcal {E}}}$, interruttore T inizialmente aperto, e condensatore inizialmente scarico. Non vi è carica sul condensatore e quindi è nulla la differenza di potenziale ai capi di C e tale rimane finché l'interruttore rimane aperto. Al tempo ${\displaystyle t=0}$, le condizioni iniziali sono: ${\displaystyle V(t=0)=0}$ e ${\displaystyle Q(t=0)=0}$; chiudiamo l'interruttore T. Nell'intervallo di tempo infinitesimo dt, la carica dQ va dal generatore al condensatore, cioè si genera corrente:

${\displaystyle I={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}}$

Per la legge di Ohm ai capi della resistenza R si ha una differenza di potenziale:

${\displaystyle {\mathcal {E}}-V(t)=IR}$

dove ${\textstyle {\mathcal {E}}}$ è la forza elettromotrice o tensione fornita dal generatore. Vediamo come variano nel tempo le grandezze in gioco. Innanzitutto possiamo trovare l'andamento della carica del condensatore, ricavando ${\textstyle Q(t)}$, riscriviamo la legge di Ohm:

${\displaystyle {\mathcal {E}}-{\frac {Q(t)}{C}}=R{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}\implies \mathrm {d} t={\frac {RC\mathop {} \!\mathrm {d} Q}{{\mathcal {E}}C-Q}}}$

Dobbiamo integrare quest'ultima equazione e per farlo dobbiamo effettuare un cambiamento di variabile, ${\displaystyle x={\mathcal {E}}C-Q}$ così che ${\displaystyle \mathrm {d} Q=-\mathrm {d} x}$:

${\displaystyle \mathrm {d} t=-RC{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\implies -{\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}\mathrm {d} t=\int _{0}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\implies \ln \left({\frac {x(t)}{x(0)}}\right)=-{\frac {t}{RC}}}$

Risolviamo rispetto a x(t) e ritorniamo alla nostra funzione ${\displaystyle Q(t)}$:

${\displaystyle x(t)=x(0)\cdot e^{-t/RC}\implies {\mathcal {E}}C-Q(t)={\mathcal {E}}C\cdot e^{-t/RC}}$

otteniamo l'equazione della carica di un condensatore:

${\displaystyle Q(t)={\mathcal {E}}C\left(1-e^{-t/RC}\right)={\mathcal {E}}C\left(1-e^{-t/\tau }\right)}$

dove ${\displaystyle \tau =RC}$ è un valore costante detta costante di tempo del circuito.

Ricaviamo di conseguenza l'equazione del potenziale in funzione del tempo:

${\displaystyle V(t)={\frac {Q(t)}{C}}={\mathcal {E}}\left(1-e^{-t/\tau }\right)}$

Ricaviamo di conseguenza l'equazione della corrente in funzione del tempo:

${\displaystyle I(t)={\frac {\mathrm {d} Q(t)}{\mathrm {d} t}}={\mathcal {E}}C{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(1-e^{-t/RC}\right)={\mathcal {E}}{\cancel {C}}{\frac {1}{R{\cancel {C}}}}e^{-t/RC}={\frac {\mathcal {E}}{R}}e^{-t/\tau }}$

Come si vede dalla figura sui grafici del potenziale e della corrente, gli andamenti sono esponenziali crescenti per la carica (identico a quello del potenziale) e il potenziale. Ciò sta a significare che il condensatore non si carica istantaneamente e completamente, ma si carica in un tempo teoricamente infinito, anche se in effetti l'andamento ci fa vedere come la carica si sviluppi in pochi costanti di tempo ${\displaystyle \simeq 3,5\tau }$ e per il resto diventa trascurabile. Dall'equazione della corrente all'inverso si vede come decresce esponenzialmente a zero e cioè all'inizio il condensatore si comporta come un corto circuito e al tempo infinito come un circuito aperto. Questa caratteristica si può evidenziare anche a partire dall'impedenza stessa del condensatore applicando il teorema del valor iniziale e del valor finale.

Se, una volta caricato il condensatore e passivizzato il generatore (sostituendolo con un corto circuito), chiudiamo l'interruttore si assiste invece al processo inverso di scarica del condensatore.

In regime di tensione/corrente alternata (AC) il condensatore si carica e si scarica continuamente assecondando le variazioni di tensione/corrente ai suoi capi ovvero con la stessa frequenza di oscillazione dell'eccitazione introducendo però uno sfasamento di 90° della risposta del circuito rispetto all'eccitazione iniziale.

L'energia potenziale accumulata dal condensatore è:

${\displaystyle U_{C}(t)={\frac {Q(t)^{2}}{2C}}={\frac {{\mathcal {E}}^{2}C}{2}}\left(1-e^{-t/RC}\right)^{2}}$

per ${\textstyle t\to \infty }$ si ha:

${\displaystyle U_{C}(\infty )={\frac {{\mathcal {E}}^{2}C}{2}}}$

mentre l'energia dissipata per effetto Joule è:

${\displaystyle U_{\text{diss}}(t)=\int _{0}^{t}RI(t)^{2}\mathop {} \!\mathrm {d} t=R\int _{0}^{t}{\frac {{\mathcal {E}}^{2}}{R^{2}}}e^{-{2t}/{RC}}\mathop {} \!\mathrm {d} t={\frac {{\mathcal {E}}^{2}C}{2}}\left(1-e^{-{2t}/{RC}}\right)}$

e per ${\displaystyle t\to \infty }$ si ha inoltre:

${\displaystyle U_{\text{diss}}(\infty )={\frac {{\mathcal {E}}^{2}C}{2}}}$

Questo significa che l'energia fornita dal generatore in ogni istante è:

${\displaystyle U_{G}(t)=\int _{0}^{t}{\mathcal {E}}\mathop {} \!\mathrm {d} Q=\int _{0}^{t}{\mathcal {E}}I(t)\mathop {} \!\mathrm {d} t={\mathcal {E}}^{2}C\left(1-e^{-t/RC}\right)}$

per ${\textstyle t\to \infty }$, l'energia totale fornita dal generatore è la somma delle energie accumulata dal condensatore e dissipata per l'effetto Joule:

${\displaystyle U_{G}(t=\infty )=U_{C}(\infty )+U_{\text{diss}}(\infty )={\mathcal {E}}^{2}C}$

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