Alternativa di Fredholm

In matematica, l'alternativa di Fredholm, il cui nome è dovuto a Ivar Fredholm, è uno dei teoremi di Fredholm, che si inserisce nel contesto della teoria di Fredholm. L'enuciato mostra che un numero complesso non nullo o è un autovalore di un operatore compatto oppure è nel relativo risolvente.

Il teorema può essere enunciato in diversi modi, in quanto la sua formulazione può essere svolta nell'ambito dell'algebra lineare, delle equazioni integrali o nella teoria degli operatori di Fredholm.

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale di dimensione n e ${\displaystyle T:V\to V}$ una trasformazione lineare. Allora vale esattamente una delle seguenti affermazioni:

• Per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ esiste ${\displaystyle \mathbf {u} \in V}$ tale che ${\displaystyle T(\mathbf {u} )=\mathbf {v} }$. In altri termini, ${\displaystyle T}$ è una funzione suriettiva, e dunque biunivoca poiché lo spazio è finito-dimensionale.
• ${\displaystyle \dim(\ker(T))>0}$

Una formulazione che utilizza le matrici afferma in modo equivalente che data una matrice ${\displaystyle A}$ di dimensione ${\displaystyle m\times n}$ ed un vettore colonna ${\displaystyle \mathbf {b} }$ di dimensione ${\displaystyle m\times 1}$, vale esattamente una delle seguenti affermazioni:

• ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ possiede una soluzione ${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle A^{T}\mathbf {y} =\mathbf {0} }$ ha soluzione ${\displaystyle \mathbf {y} }$ con ${\displaystyle \mathbf {y} ^{T}\mathbf {b} \neq 0}$

Ovvero, ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ha soluzione (cioè ${\displaystyle \mathbf {b} \in \operatorname {Im} (A)}$) se e solo se per ogni ${\displaystyle \mathbf {y} }$ tale che ${\displaystyle A^{T}\mathbf {y} =\mathbf {0} }$ si ha ${\displaystyle \mathbf {y} ^{T}\mathbf {b} =0}$, cioè ${\displaystyle \mathbf {b} \in \ker(A^{T})^{\bot }}$.

L'alternativa può essere espressa dicendo che, dato un operatore compatto ${\displaystyle T}$, e dato ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} -\{0\}}$, o ${\displaystyle T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$ possiede una soluzione diversa da zero oppure ${\displaystyle (T-\lambda I)\mathbf {v} =f}$ ha soluzione unica per qualsiasi scelta di ${\displaystyle f}$, che equivale a dire che o ${\displaystyle \lambda }$ è un autovalore (cioè un elemento dello spettro puntuale) oppure ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ è limitato, cioè ${\displaystyle \lambda }$ è nel dominio dell'operatore risolvente. Nell'ambito delle equazioni integrali questo viene espresso considerando l'equazione integrale di Fredholm:

${\displaystyle \phi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=0}$

dove se ${\displaystyle K(x,y)}$ è un nucleo integrale liscio l'operatore integrale così definito è compatto. Data l'equazione non omogenea:

${\displaystyle \phi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x)}$

l'alternativa di Fredholm afferma che per ogni numero complesso non nullo ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ o la prima equazione ha una soluzione non banale oppure la seconda ha una soluzione per ogni ${\displaystyle f(x)}$, e questo vale anche per le rispettive relazioni complesse coniugate:

${\displaystyle \psi (x)-{\bar {\lambda }}\int _{a}^{b}{\overline {K(x,y)}}\psi (y)\,dy=0\qquad \psi (x)-{\bar {\lambda }}\int _{a}^{b}{\overline {K(x,y)}}\psi (y)\,dy=g(x)}$

Una condizione sufficiente per la validità del teorema è che ${\displaystyle K(x,y)}$ sia quadrato sommabile sul rettangolo ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$ (dove gli estremi possono essere illimitati).

Attraverso gli operatori di Fredholm si generalizza il teorema a spazi di Banach di dimensione arbitraria. In modo informale, la corrispondenza tra la versione dell'enunciato in algebra lineare e quello per le equazioni integrali si mostra ponendo:

${\displaystyle T(x,y)=\lambda \delta (x-y)-K(x,y)}$

con ${\displaystyle \delta (x-y)}$ la delta di Dirac. L'operatore ${\displaystyle T}$ può essere visto come un operatore lineare che agisce su uno spazio di Banach ${\displaystyle V}$ di funzioni ${\displaystyle \phi (x)}$, sicché ${\displaystyle T:V\to V}$ è dato dalla mappa ${\displaystyle \phi \mapsto \psi }$, con ${\displaystyle \psi }$ fornito da:

${\displaystyle \psi (x)=\int _{a}^{b}T(x,y)\phi (y)\,dy}$

Il teorema stabilisce che dato un operatore lineare continuo ${\displaystyle T:E\to E}$ fra spazi di Banach, e detto ${\displaystyle T^{*}:E^{*}\to E^{*}}$ l'operatore nello spazio duale, o esistono soluzioni uniche per:

${\displaystyle T(x)=y\qquad T^{*}(f)=g\quad x,y\in E\quad f,g\in E^{*}}$

oppure le equazioni omogenee:

${\displaystyle T(x)=0\qquad T^{*}(f)=0\quad x\in E\quad f\in E^{*}}$

hanno lo stesso numero ${\displaystyle n<\infty }$ di soluzioni linearmente indipendenti.

Siano ${\displaystyle x_{1},\dots x_{n}}$ e ${\displaystyle f_{1},\dots f_{n}}$ le soluzioni delle equazioni omogenee. Allora, date due soluzioni particolari ${\displaystyle x'}$ e ${\displaystyle f'}$ delle equazioni non omogenee, la soluzione generale di queste ultime è la somma di una soluzione particolare e di una combinazione lineare di soluzioni (linearmente indipendenti) della relativa equazione omogenea:

${\displaystyle x=x'+\sum _{1}^{n}c_{i}x_{i}\qquad f=f'+\sum _{1}^{n}c_{i}f_{i}}$

con ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}}$ coefficienti arbitrari.

L'alternativa di Fredholm si applica a un operatore se e solo se esso può essere scritto come la somma di un operatore compatto e di un operatore con inverso continuo.

• E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math., 27 (1903) pp.  365–390.
• A. G. Ramm, "A Simple Proof of the Fredholm Alternative and a Characterization of the Fredholm Operators", American Mathematical Monthly, 108 (2001) p.  855.
• V.I. Smirnov, A course of higher mathematics , 4 , Addison-Wesley (1964)
• V.S. Vladimirov, Equations of mathematical physics , MIR (1984)
• L.V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functional analysis in normed spaces , Pergamon (1964)

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• (EN) Eric W. Weisstein, Alternativa di Fredholm, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Fredholm operator, in PlanetMath.
• (EN) B.V. Khvedelidze, Fredholm operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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