Matrice definita positiva

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice definita positiva è una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ tale che, detto ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ il trasposto complesso coniugato di ${\displaystyle \mathbf {x} }$, si verifica che la parte reale di ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x} }$ è positiva per ogni vettore complesso ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$.

Nonostante la definizione si utilizzi solitamente nel caso di matrici hermitiane e simmetriche reali, in generale una matrice ${\displaystyle A}$ quadrata (di dimensioni ${\displaystyle n\times n}$) si dice definita positiva quando:^[1]

${\displaystyle \mathrm {Re} (\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x} )>0,\qquad \forall \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n}-\{\mathbf {0} \},}$

ossia quando il prodotto ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x} }$, che è sempre un numero complesso, ha parte reale strettamente positiva per ogni vettore non nullo ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n}}$ (indicando con ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ il vettore complesso coniugato trasposto del vettore ${\displaystyle \mathbf {x} }$).

In modo equivalente, una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se la propria parte Hermitiana:

${\displaystyle A_{H}={\frac {(A+A^{*})}{2}}}$

è definita positiva, ossia ${\displaystyle \mathrm {Re} (\mathbf {x} ^{*}A_{H}\mathbf {x} )>0,}$ per ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n}-\{\mathbf {0} \}}$.

Un'altra definizione è la seguente: una generica matrice quadrata complessa è definita positiva se tutti gli autovalori della propria parte Hermitiana ${\displaystyle A_{H}}$ sono strettamente positivi.^[1]

Una matrice simmetrica reale è anche hermitiana, ed una matrice hermitiana ${\displaystyle M}$ di dimensione ${\displaystyle n\times n}$ è una matrice definita positiva se ha una delle seguenti proprietà equivalenti (e quindi le possiede tutte):

• Per tutti i vettori non nulli ${\displaystyle \mathbf {z} }$ in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ si ha ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}$, dove ${\displaystyle \mathbf {z} }$ è visto come un vettore colonna con ${\displaystyle n}$ componenti complesse e ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}}$ come la complessa coniugata della sua trasposta. Se ${\displaystyle M}$ è hermitiana, ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$ è sempre reale, ed ha quindi senso chiedere che sia positivo.
• Per tutti i vettori non nulli ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ si ha ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0}$, dove ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}}$ denota la trasposta del vettore colonna ${\displaystyle \mathbf {x} }$.
• Per tutti i vettori non nulli ${\displaystyle \mathbf {u} }$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ (tutte le componenti sono intere), si ha ${\displaystyle \mathbf {u} ^{T}M\mathbf {u} >0}$.
• Tutti gli autovalori di ${\displaystyle M}$ sono numeri reali positivi.
• La forma hermitiana ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {y} }$ definisce un prodotto hermitiano definito positivo su ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.
• Criterio di Sylvester: tutte le sottomatrici quadrate superiori sinistre hanno determinante positivo (i minori principali secondo l'ordine da ${\displaystyle 1}$ a ${\displaystyle n}$). Altrimenti detto, tutti i determinanti delle matrici Nord-Ovest sono positivi non nulli.

Le matrici definite positive hanno un comportamento simile ai numeri reali positivi.

• Ogni matrice simmetrica definita positiva ha tutti gli autovalori strettamente positivi.
• Ogni matrice simmetrica semidefinita positiva ha tutti gli autovalori non negativi.
• Ogni matrice simmetrica definita negativa ha tutti gli autovalori strettamente negativi.
• Ogni matrice simmetrica semidefinita negativa ha tutti gli autovalori non positivi.
• Ogni matrice definita positiva è invertibile e la sua inversa è anch'essa definita positiva.
• Se ${\displaystyle M}$ è definita positiva e ${\displaystyle r>0}$ è un numero reale, allora ${\displaystyle rM}$ è definita positiva.
• Se ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ sono definite positive, allora ${\displaystyle M+N}$ è anch'essa definita positiva; se inoltre ${\displaystyle MN=NM}$, cioè le matrici commutano, allora ${\displaystyle MN}$ è anch'essa definita positiva.
• Ogni matrice definita positiva ${\displaystyle M}$ ha una radice quadrata, cioè una matrice ${\displaystyle N}$ tale che ${\displaystyle NN=M}$. Una matrice definita positiva può avere un gran numero di radici quadrate, ma una e una sola radice quadrata definita positiva.
• Se la matrice che stiamo considerando è simmetrica reale essa è definita positiva se la sua segnatura è ${\displaystyle (n,0)}$ dove ${\displaystyle n}$ è il rango della matrice.
• Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i suoi minori principali di guida sono tutti positivi.

La matrice hermitiana ${\displaystyle M}$ si dice definita negativa se:

${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} <0,}$

per tutti gli elementi non nulli ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (o, equivalentemente, tutti elementi non nulli ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$).

La matrice ${\displaystyle M}$ è chiamata semidefinita positiva se:

${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} \geq 0.}$

Per tutti gli ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (o ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) si dice invece semidefinita negativa se:

${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} \leq 0,}$

per tutti gli ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (o ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$). Come sopra, ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ indica la complessa coniugata della sua trasposta. Nel caso in cui ${\displaystyle \mathbf {x} }$ sia un vettore in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, questa operazione coincide con la trasposizione e si può scrivere ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}}$ al posto di ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$.

Una matrice hermitiana che non è né positiva né semidefinita negativa è chiamata indefinita. In maniera equivalente una matrice è chiamata indefinita se ha due autovalori di segno opposto.

Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotto scalare e Forma sesquilineare.

Le matrici definite positive sono utili per definire una geometria su uno spazio vettoriale, che possa usare i concetti di angolo e lunghezza. Sia ${\displaystyle K}$ un campo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale su ${\displaystyle K}$, e ${\displaystyle B\colon V\times V\to K}$ una forma hermitiana se ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ o un prodotto scalare se ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$. La forma ${\displaystyle B}$ è chiamata definita positiva se ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0}$ per ogni ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in ${\displaystyle V}$ diverso dal vettore zero: questa proprietà garantisce che i vettori hanno "lunghezza positiva" e danno a ${\displaystyle V}$ una struttura simile a quella dello spazio euclideo.

Lo stesso argomento in dettaglio: Forma quadratica.

La forma quadratica associata ad una matrice reale ${\displaystyle M}$ è la funzione ${\displaystyle Q\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ tale che ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} }$ per tutti gli ${\displaystyle \mathbf {x} }$. La matrice ${\displaystyle M}$ è definita positiva se e solo se è simmetrica e la sua forma quadratica è una funzione strettamente convessa.

Più in generale, ogni polinomio di secondo grado ${\displaystyle P\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ può essere scritto come ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} +\mathbf {x} ^{T}\mathbf {b} +c}$, dove ${\displaystyle M}$ è una matrice simmetrica ${\displaystyle n\times n}$, ${\displaystyle \mathbf {b} }$ è un vettore reale e ${\displaystyle c}$ una costante. La funzione ${\displaystyle P}$ è strettamente convessa se ${\displaystyle M}$ è definita positiva.

Una matrice simmetrica e una matrice simmetrica definita positiva possono essere simultaneamente diagonalizzate, anche se non necessariamente per mezzo di una trasformazione per similitudine, ed il risultato non si estende al caso di tre o più matrici. Nello specifico, se ${\displaystyle M}$ è simmetrica e ${\displaystyle N}$ è simmetrica e definita positiva, la generica equazione agli autovalori è:

${\displaystyle (M-\lambda N)\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

Tramite la decomposizione di Cholesky è possibile scrivere l'inversa di ${\displaystyle N}$ come ${\displaystyle Q^{T}Q}$, con ${\displaystyle Q}$ che in particolare è invertibile in quanto lo è ${\displaystyle N}$. Moltiplicando per ${\displaystyle Q}$ e ponendo ${\displaystyle \mathbf {x} =Q^{T}\mathbf {y} }$ si ottiene:

${\displaystyle Q(M-\lambda N)Q^{T}\mathbf {y} =\mathbf {0} }$

che, siccome ${\displaystyle QNQ^{T}=I}$, può essere riscritta come:

${\displaystyle (QMQ^{T})\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y} .}$

Essendo ${\displaystyle QMQ^{T}}$ simmetrica, dal teorema spettrale esiste una matrice ${\displaystyle Y}$ tale che ${\displaystyle (QMQ^{T})Y=Y\Lambda }$ e ${\displaystyle Y^{T}Y=I}$, dove ${\displaystyle \Lambda }$ è una matrice diagonale i cui elementi sono gli autovalori generalizzati e le colonne di ${\displaystyle Y}$ sono una base ortonormale di autovettori di ${\displaystyle QMQ^{T}}$. Per la sostituzione fatta in precedenza si ha quindi che, ponendo ${\displaystyle X=Q^{T}Y}$, le colonne di ${\displaystyle X}$ soddisfano l'equazione ${\displaystyle (M-\lambda N)\mathbf {x} =\mathbf {0} }$ (cioè sono gli autovalori generalizzati) e ${\displaystyle Y=QNX}$. Si trova allora che ${\displaystyle X^{T}NX=I}$ e ${\displaystyle QMX=(QMQ^{T})(QNX)=(QNX)\Lambda }$. Dall'ultima relazione si deduce che:

${\displaystyle MX=NX\Lambda ,\qquad X^{T}NX=I.}$

Moltiplicando per ${\displaystyle X^{T}}$si ottiene:

${\displaystyle X^{T}MX=\Lambda ,\qquad X^{T}NX=I,}$

anche se non si tratta più di una diagonalizzazione ortogonale rispetto al prodotto scalare canonico (infatti ${\displaystyle X}$ non è in generale una matrice ortogonale).

• Marius Stoka, Corso di geometria, CEDAM, 1995, ISBN 88-13-19192-8.
• (EN) Rajendra Bhatia. Positive definite matrices. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0-691-12918-1.
• (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 134, 1962.
• (EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. "Positive Definite Systems." §4.2 in Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, pp. 140-141, 1996.
• (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1106, 2000.

• Forma quadratica
• Forma sesquilineare
• Funzione definita positiva
• Matrice hermitiana
• Matrice simmetrica
• Prodotto scalare

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice definita positiva, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) AA. VV., Positive-definite form, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) V.S. Shul'man, Positive-definite kernel, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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