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In vari settori della matematica , in particolare nello studio delle funzioni speciali , si incontrano svariate identità sui logaritmi .
log
b
(
1
)
=
0
{\displaystyle \log _{b}(1)=0\!\,}
deriva da
b
0
=
1
{\displaystyle b^{0}=1\!\,}
log
b
(
b
)
=
1
{\displaystyle \log _{b}(b)=1\!\,}
deriva da
b
1
=
b
{\displaystyle b^{1}=b\!\,}
log
1
/
b
(
b
)
=
−
1
{\displaystyle \log _{1/b}(b)=-1\!\,}
deriva da
b
−
1
=
1
/
b
{\displaystyle b^{-1}=1/b\!\,}
I logaritmi sono stati introdotti per semplificare i calcoli numerici. Per esempio si può ottenere il prodotto di due numeri servendosi delle tavole dei logaritmi ed effettuando una somma.
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
+
log
b
(
y
)
{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,}
deriva da
b
x
⋅
b
y
=
b
x
+
y
{\displaystyle b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}}
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
−
log
b
(
y
)
{\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\dfrac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}
deriva da
b
x
b
y
=
b
x
−
y
{\displaystyle {\begin{matrix}{\dfrac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}}
log
b
(
x
y
)
=
y
log
b
(
x
)
{\displaystyle \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,}
deriva da
(
b
n
)
y
=
b
n
y
{\displaystyle (b^{n})^{y}=b^{ny}\!\,}
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
y
{\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\dfrac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}
deriva da
x
y
=
x
1
/
y
{\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}
La funzione esponenziale viene anche chiamata antilogaritmo; in effetti le applicazioni della funzione logaritmo e della funzione esponenziale relative alla stessa base si annullano reciprocamente.
b
log
b
(
x
)
=
x
{\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}
deriva da
a
n
t
i
l
o
g
b
(
log
b
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,}
log
b
(
b
x
)
=
x
{\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x\!\,}
deriva da
log
b
(
a
n
t
i
l
o
g
b
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,}
log
a
b
=
log
c
b
log
c
a
{\displaystyle \log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}}
Questa identità permette di calcolare i logaritmi in base qualunque su molte calcolatrici. Gran parte delle calcolatrici hanno infatti tasti per il calcolo di ln e di log10 , ma nessuno che permetta il calcolo diretto di log2 . Per ottenere il valore di un numero come log2 (3), si può calcolare log10 (3) / log10 (2) (o equivalentemente il calcolo di ln(3)/ln(2)).
Alla precedente formula se ne riconducono varie altre:
log
a
b
=
1
log
b
a
{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}
log
a
n
b
=
1
n
log
a
b
{\displaystyle \log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b}
a
log
b
c
=
c
log
b
a
{\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}
lim
x
→
0
+
log
a
x
=
−
∞
se
a
>
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a>1}
lim
x
→
0
+
log
a
x
=
+
∞
se
0
<
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se }}0<a<1}
lim
x
→
+
∞
log
a
x
=
+
∞
se
a
>
1
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se }}a>1}
lim
x
→
+
∞
log
a
x
=
−
∞
se
0
<
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}0<a<1}
lim
x
→
0
+
x
b
log
a
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}
lim
x
→
+
∞
1
x
b
log
a
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}
L'ultima identità viene spesso interpretata con l'affermazione che "i logaritmi crescono più lentamente di una qualunque potenza (o radice) positiva della variabile
x
{\displaystyle x}
d
d
x
log
a
x
=
1
x
ln
a
=
log
a
e
x
{\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}}
∫
log
a
x
d
x
=
x
(
log
a
x
−
log
a
e
)
+
C
{\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}
Per rendere più mnemoniche le formule che seguono conviene introdurre la notazione:
x
[
n
]
:=
x
n
(
log
(
x
)
−
H
n
)
{\displaystyle x^{\left[n\right]}:=x^{n}(\log(x)-H_{n})}
dove
H
n
:=
∑
k
=
1
n
1
k
{\displaystyle \,H_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}
n -esimo numero armonico .
Quindi si hanno le successive identità:
x
[
0
]
=
log
x
{\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}
x
[
1
]
=
x
log
(
x
)
−
x
{\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}
x
[
2
]
=
x
2
log
(
x
)
−
1
2
x
2
{\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}
x
[
3
]
=
x
3
log
(
x
)
−
3
4
x
3
{\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{4}}\end{matrix}}\,x^{3}}
Di conseguenza
d
d
x
x
[
n
]
=
n
x
[
n
−
1
]
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}
∫
x
[
n
]
d
x
=
x
[
n
+
1
]
n
+
1
+
C
{\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}
![{\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\dfrac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845808f713705b3dfe573f8c4e3e8e315e8ec516)
![{\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ac55954aa0ab68281337cdf011c7e92b309446)
![{\displaystyle x^{\left[n\right]}:=x^{n}(\log(x)-H_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06288d0bdb6254c69b1e51bc9f20bf56f247de6)
![{\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078fe3653cf35a30aea1b7f03ea554ae7670b967)
![{\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c12b6bda581e741822ed456b8e7c42955525db0)
![{\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23ebc6182ae15d280622faa283d2d24289445cf)
![{\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{4}}\end{matrix}}\,x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a8f8e13e5c9125eb4c925d0c386b8ea41656e0a)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1466307fb829dca298b9bfcce3e58bd33c52d8a)
![{\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92036b7056a0179b00f4d6739640046d2e8553ba)
