Regola del rettangolo

La regola del rettangolo o regola del punto medio, è il più semplice procedimento di integrazione numerica per approssimare un integrale definito nella forma :${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$.

Tale formula approssima l'integrale (e quindi l'area sottesa dalla funzione) come un rettangolo di base ${\displaystyle b-a}$ e di altezza ${\displaystyle f(c)}$, dove a e b sono gli estremi di integrazione e c è il punto medio dell'intervallo, ottenendo un'espressione finale per l'integrale pari a: ${\displaystyle I_{r}=(b-a)f(c)=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)}$

Per calcolare con più accuratezza l'integrale, si divide l'intervallo di integrazione ${\displaystyle [a,b]}$ in ${\displaystyle M}$ sottointervalli di ampiezza uniforme pari a ${\displaystyle h={\frac {b-a}{M}}}$

La formula del punto medio diventerà dunque ${\displaystyle I_{r}^{c}=h\sum _{k=1}^{M}f({\bar {x}}_{k})}$, dove ${\displaystyle {\bar {x}}_{k}}$ rappresenta il punto medio del k-esimo sottointervallo.

L'errore sviluppato con il metodo del rettangolo, assumerà la seguente espressione: ${\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-I_{r}={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )}$, dove ${\displaystyle \xi }$ è un opportuno punto compreso nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$.

Nel caso si usi il metodo composito l'errore sarà ${\displaystyle {\mathcal {E}}=h^{2}{\frac {b-a}{24}}f''(\xi )}$. Dalla formula dell'errore si deduce che il metodo integra esattamente polinomi di primo grado, e che l'errore diminuisce quadraticamente rispetto all'ampiezza dei sottointervalli ${\displaystyle h}$.

In MATLAB la formula del rettangolo composita può essere implementata come segue:

function I = Ret_c(a,b,M,f)

%Dati a e b, estremi di integrazione,M numero di sottintervalli in cui dividere l'intervallo d'integrazione
%f funzione integranda, definita come inline o function handle, restituisce il valore dell'integrale approssimato

h=(b-a)/M;

x=a+h/2:h:b-h/2; 

I=h*sum(f(x));

• Alfio Quarteroni, Fausto Saleri, Calcolo Scientifico, Milano, Springer, 2008.

• Integrazione numerica
• Regola di Cavalieri-Simpson
• Regola del trapezio

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla Regola del rettangolo

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