Utente:Luca280703/sandbox

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${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)={\mathcal {l}}\Leftrightarrow \forall I\in {\mathcal {F}}({\mathcal {l}})\,\exists \,J\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J-\left\{x_{0}\right\},f(x)\in I}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)={\mathcal {l}}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\,\exists \,J_{\varepsilon }\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J_{\varepsilon }-\left\{x_{0}\right\},|f(x)-{\mathcal {l}}|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)={\mathcal {l}}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\,\exists \,J_{\varepsilon }^{+}\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J_{\varepsilon }^{+},|f(x)-{\mathcal {l}}|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)={\mathcal {l}}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\,\exists \,J_{\varepsilon }^{-}\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J_{\varepsilon }^{-},|f(x)-{\mathcal {l}}|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }f(x)={\mathcal {l}}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\,\exists \,J_{\varepsilon }\in {\mathcal {F}}(\infty ):\forall x\in J_{\varepsilon },|f(x)-{\mathcal {l}}|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall M>0\,\exists \,J\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J-\left\{x_{0}\right\},|f(x)|>M}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty \ \Leftrightarrow \forall M>0\,\exists \,J\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J-\left\{x_{0}\right\},f(x)>M}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=-\infty \ \Leftrightarrow \forall M>0\,\exists \,J\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J-\left\{x_{0}\right\},f(x)<-M}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall M>0\,\exists \,J\in {\mathcal {F}}(\infty ):\forall x\in J,|f(x)|>M}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}[+\infty -\infty ]=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{x_{MAX}\left({\frac {f(x)}{x_{MAX}}}\right)}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{x_{MAX}}}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\left[{\frac {\infty }{\infty }}\right]}\Rightarrow \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {x_{MAX1}\left({\frac {f(x)}{x_{MAX1}}}\right)}{x_{MAX2}\left({\frac {g(x)}{x_{MAX2}}}\right)}}=\lim {\frac {k_{1}\cdot x_{MAX1}}{k_{2}\cdot x_{MAX2}}}\Rightarrow {\begin{cases}Se\,x_{MAX1}>x_{MAX2}\Rightarrow \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\infty \\Se\,x_{MAX1}<x_{MAX2}\Rightarrow \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0\\Se\,x_{MAX1}=x_{MAX2}\Rightarrow \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\left[{\frac {0}{0}}\right]}\Rightarrow \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {\frac {f(x)}{x-x_{0}}}{\frac {g(x)}{x-x_{0}}}}\,(Scomposizione)}$

${\displaystyle y=mx+q}$

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {f(x)}{x}}}$

${\displaystyle q=\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)-mx}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin {x}}{x}}=1}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}\Longrightarrow Se\,{\frac {1}{x}}=t\Rightarrow \lim _{t\rightarrow +\infty }\left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{t}=e}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\tan {x}}{x}}=\lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}\cdot {\frac {1}{x}}\right)=\lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {\sin {x}}{x}}\cdot {\frac {1}{\cos {x}}}\right)=\lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {\sin {x}}{x}}\right)\cdot \lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {1}{\cos {x}}}\right)=1}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {1}{x}}\log _{a}(1+x)\right)=\lim _{x\rightarrow 0}\left(\log _{a}(1+x)\right)^{\frac {1}{x}}=\log _{a}\left\{\lim _{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}\right\}=\log _{a}{e}}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=\ln {e}=1}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {a^{x}-1}{x}},t=a^{x}-1\Rightarrow \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{\log _{a}(t+1)}}={\frac {1}{\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {\log _{a}(t+1)}{t}}}}={\frac {1}{\log _{a}{e}}}={\frac {1}{\frac {\ln {e}}{\ln {a}}}}=\ln {a}}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=\ln {e}=1}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos {x}}{x}}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos {x}}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle f(x)=k\Rightarrow f'(x)=0}$

${\displaystyle f(x)=x\Rightarrow f'(x)=1}$

${\displaystyle f(x)=\sin {x}\Rightarrow f'(x)=\cos {x}}$

${\displaystyle f(x)=\cos {x}\Rightarrow f'(x)=-\sin {x}}$

${\displaystyle f(x)=\tan {x}\Rightarrow f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}}$

${\displaystyle f(x)=\cot {x}\Rightarrow f'(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}}$

${\displaystyle f(x)=x^{n}\Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}}$

${\displaystyle f(x)=a^{x}\Rightarrow f'(x)=a^{x}\ln {a}}$

${\displaystyle f(x)=e^{x}\Rightarrow f'(x)=e^{x}}$

${\displaystyle f(x)=\log _{a}{x}\Rightarrow f'(x)={\frac {1}{x\ln {a}}}}$

${\displaystyle f(x)=\ln {x}\Rightarrow f'(x)={\frac {1}{x\ln {e}}}={\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle f(x)=\arcsin {x}\Rightarrow f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle f(x)=\arccos(x)\Rightarrow f'(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle f(x)=\arctan(x)\Rightarrow f'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle f(x)=\operatorname {arccot}(x)\Rightarrow f'(x)=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}\Rightarrow f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}\Rightarrow f'(x)=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}}$

${\displaystyle f(x)=ax^{n}\Rightarrow f'(x)=anx^{n-1}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)\cdot g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[f(g(x))\right]=f'(g(x))\cdot g'(x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)]=f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g'(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g(x)\cdot h'(x)}$

${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+c\Leftrightarrow F'(x)=f(x)}$

${\displaystyle {\vec {F}}=k_{0}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\hat {r}}}$

${\displaystyle Costante\,di\,proporzionalit{\grave {a}}=k_{0}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=8.988\cdot 10^{9}{\frac {N\cdot m^{2}}{C^{2}}}}$

${\displaystyle Costante\,dielettrica\,nel\,vuoto=\varepsilon _{0}=8.854\cdot 10^{-12}{\frac {C^{2}}{N\cdot m^{2}}}}$

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{q}}}$

${\displaystyle {\vec {E}}=k_{0}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {r}}}$

${\displaystyle \Phi _{\vec {S}}\left({\vec {E}}\right)={\vec {E}}\cdot {\vec {S}}=E\cdot S\cdot \cos {\alpha }}$

${\displaystyle \Omega =Superficie\,chiusa}$

${\displaystyle \Phi _{\Omega }\left({\vec {E}}\right)={\frac {Q_{tot}}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {\Delta Q}{\Delta S}}}$

${\displaystyle E={\frac {|\sigma |}{2\varepsilon }}}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\Delta Q}{\Delta l}}}$

${\displaystyle E={\frac {|\lambda |}{2\pi \varepsilon _{0}r}}}$

${\displaystyle Se\,r\leq R\Rightarrow E={\frac {|Q|}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}r}$

${\displaystyle Se\,r\geq R\Rightarrow E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {|Q|}{r^{2}}}}$

${\displaystyle U=W_{A\rightarrow R}={\frac {k_{0}}{\varepsilon _{r}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r}}=qEr}$

${\displaystyle V={\frac {U}{q}}={\frac {k_{0}}{\varepsilon _{r}}}{\frac {Q}{r}}=Er}$

${\displaystyle \Delta V=V_{B}-V_{A}={\frac {\Delta U}{q}}=-{\frac {W_{A\rightarrow B}}{q}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathcal {L}}({\vec {E}})=\sum _{i=1}^{n}{{\vec {E}}\cdot \Delta {\vec {l_{i}}}}=\sum _{i=1}^{n}(-\Delta V_{i})}$

${\displaystyle i={\frac {\Delta V}{R}}}$

${\displaystyle R=\rho {\frac {\mathit {l}}{A}}}$

${\displaystyle \rho =\rho _{293}(1+\alpha \Delta T)}$

${\displaystyle R_{eq}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}}$

${\displaystyle {\frac {1}{R}}_{eq}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{R_{i}}}}$

${\displaystyle \sum i_{in}=\sum i_{out}}$

${\displaystyle \sum _{\forall \Delta V\in }^{Maglia}\Delta V=0}$

${\displaystyle P=i^{2}R={\frac {\Delta V^{2}}{R}}=i\Delta V}$

${\displaystyle f_{em}={\frac {W_{g}}{q}}}$

${\displaystyle i={\frac {f_{em}}{R+r}}}$

${\displaystyle \Delta V={\frac {R}{R+r}}f_{em}}$

Forza magnetica tra due fili paralleli nel vuoto di eguale lunghezza l, distanti d:

${\displaystyle F={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {i_{1}i_{2}}{d}}l}$

${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}{\frac {N}{A^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}=i_{2}=1A\\d=1m\\l=1m\\F=2\cdot 10^{-7}N\end{cases}}}$

${\displaystyle B={\frac {F}{il}}}$

${\displaystyle {\vec {F}}=i{\vec {l}}\times {\vec {B}}\Rightarrow F=ilB\operatorname {sen} {\alpha }}$

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {i}{d}}}$

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}iR^{2}}{2{\sqrt {(R^{2}+y^{2})^{3}}}}}}$

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{2}}{\frac {i}{R}}}$

${\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {N}{l}}i}$

Spira chiusa con intensità i e area A, immersa in un campo magnetico B e libera di ruotare intorno a un asse perpendicolare a B; angolo ${\displaystyle \alpha }$ compreso tra A e B

${\displaystyle {\vec {M}}=i{\vec {A}}\times {\vec {B}}\Rightarrow M=iAB\sin {\alpha }}$

Forza data da un campo magnetico B su una carica q che viaggia a velocità v

${\displaystyle {\vec {F_{q}}}=q{\vec {v}}\times {\vec {B}}\Rightarrow F_{q}=|q|vB\sin {\alpha }}$

${\displaystyle r={\frac {m}{|q|}}{\frac {v}{B}}}$

${\displaystyle T={\frac {2\pi m}{|q|B}}}$

${\displaystyle \Phi _{\vec {\Omega }}\left({\vec {B}}\right)=\sum _{i=1}^{n}({\vec {B_{i}}}\cdot \Delta {\vec {S_{i}}})}$

Campo magnetico in un punto distante r dall'asse di un filo di raggio R infinitamente lungo e percorso da corrente i

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {i}{R^{2}}}r\,per\,0\leq r\leq R}$

${\displaystyle Flusso\,in\,un\,campo\,elettrico:\,\Phi _{\vec {S}}\left({\vec {E}}\right)={\vec {E}}\cdot {\vec {S}}=E\cdot S\cdot \cos {\alpha }}$

${\displaystyle Flusso\,in\,un\,campo\,magnetico:\,\Phi _{\vec {S}}\left({\vec {B}}\right)={\vec {B}}\cdot {\vec {S}}=B\cdot S\cdot \cos {\alpha }}$

${\displaystyle Circuitazione\,in\,un\,campo\,elettrico:\,\Gamma _{\mathcal {L}}\left({\vec {E}}\right)=\sum _{j=1}^{n}{{\vec {E}}_{j}\cdot {\vec {\Delta l}}_{j}}}$

${\displaystyle Circuitazione\,in\,un\,campo\,magnetico:\,\Gamma _{\mathcal {L}}\left({\vec {B}}\right)=\sum _{j=1}^{n}{{\vec {B}}_{j}\cdot {\vec {\Delta l}}_{j}}}$

${\displaystyle Teorema\,di\,Gauss\,per\,il\,campo\,elettrico:\Phi _{\Omega }\left({\vec {E}}\right)={\frac {Q_{tot}}{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle Teorema\,della\,conservativit{\grave {a}}\,del\,campo\,elettrostatico:\Gamma _{\mathcal {L}}\left({\vec {E}}\right)=0}$

${\displaystyle Teorema\,di\,Gauss\,per\,il\,campo\,magnetico:\,\Phi _{\Omega }\left({\vec {B}}\right)=0}$

${\displaystyle Teorema\,di\,Amp{\grave {e}}re:\,\Gamma _{\mathcal {L}}\left({\vec {B}}\right)=\mu _{0}\sum _{j=1}^{k}{i_{j}}}$

${\displaystyle Intensit{\grave {a}}\,di\,corrente:Ampere(A)}$

${\displaystyle Carica\,elettrica:Coulomb\,(C)=A\cdot s}$

${\displaystyle Campo\,elettrico:\,{\frac {N}{C}}={\frac {V}{m}}}$

${\displaystyle Flusso\,del\,campo\,elettrico:\,{\frac {N\cdot m^{2}}{C}}}$

${\displaystyle Potenziale\,elettrico:Volt,\,V={\frac {N\cdot m}{C}}}$

${\displaystyle Circuitazione:\,V}$

${\displaystyle Resistenza\,elettrica:\,Ohm,\,{\frac {V}{A}}}$

${\displaystyle Forza\,elettromotrice:\,V}$

${\displaystyle Campo\,magnetico:\,Tesla\,(T)={\frac {N}{A\cdot m}}}$

${\displaystyle Flusso\,del\,campo\,elettrico:\,Weber\,(Wb)=T\cdot m^{2}}$

${\displaystyle Prodotto\,di\,potenze\,con\,la\,stessa\,base:\,a^{b}\times a^{c}=a^{b+c}\Rightarrow 2^{3}\times 2^{4}=2^{3+4}=2^{7}}$

${\displaystyle Rapporto\,di\,potenze\,con\,la\,stessa\,base:\,a^{b}:a^{c}=a^{b-c}\Rightarrow 2^{4}:2^{3}=2^{4-3}=2^{1}=2}$

${\displaystyle Prodotto\,di\,potenze\,con\,lo\,stesso\,esponente:a^{c}\times b^{c}=(a\times b)^{c}\Rightarrow 2^{4}\times 3^{4}=(2\times 3)^{4}=6^{4}}$

${\displaystyle Rapporto\,di\,potenze\,con\,lo\,stesso\,esponente:a^{c}:b^{c}=(a:b)^{c}\Rightarrow 6^{4}:3^{4}=(6:3)^{4}=2^{4}}$

${\displaystyle Potenza\,di\,potenza:(a^{b})^{c}=a^{b\times c}\Rightarrow (2^{3})^{4}=2^{3\times 4}=2^{12}}$

${\displaystyle Attenzione!!!!\,(2^{3})^{4}=2^{3\times 4}=2^{12},\,ma\,2^{3^{4}}=2^{(3^{4})}=2^{81}}$

${\displaystyle a^{0}=a^{n-n}=a^{n}:a^{n}=(a:a)^{n}=1^{n}=1}$

Molecole organiche

Molecola	Formula	Desinenza	Reazione	Reagente	Prodotto	Nome del prodotto	Note
Alcani	${\displaystyle {\ce {R-H}}}$	-ano	Combustione	Luce	${\displaystyle {\ce {CO2}}}$+ ${\displaystyle {\ce {H2O}}}$	Anidride carbonica + acqua
			Alogenazione	${\displaystyle {\ce {Cl2}}}$, luce, calore	${\displaystyle {\ce {R-Cl}}}$+${\displaystyle {\ce {H2}}}$	Alogenuri alchilici
Alcheni	${\displaystyle {\ce {CH2=CH2}}}$	-ene	Addizione elettrofila	${\displaystyle {\ce {H2}}}$ (Idrogenazione)	${\displaystyle {\ce {CH3-CH3}}}$	Alcani
				${\displaystyle {\ce {Cl2}}}$ (Alogenazione)	${\displaystyle {\ce {Cl-CH2-CH2-Cl}}}$	Dialogenuri alchilici
				${\displaystyle {\ce {HCl}}}$ (Idroalogenazione)	${\displaystyle {\ce {CH3-CH2-Cl}}}$	Alogenuri alchilici	Regola di Markovnikov
				${\displaystyle {\ce {H2O}}}$ (Idratazione)	${\displaystyle {\ce {CH3-CH2-OH}}}$	Alcoli
Alchini	${\displaystyle {\ce {CH#CH}}}$	-ino	Addizione elettrofila	${\displaystyle {\ce {H2}}}$ (Idrogenazione)	${\displaystyle {\ce {CH2=CH2}}}$	Cis-alcheni	Catalizzatore di Lindlar
					${\displaystyle {\ce {CH3-CH3}}}$	Alcani	Catalizzatore metallico
				${\displaystyle {\ce {Cl2}}}$ (Alogenazione)	${\displaystyle {\ce {Cl-CH=CH-Cl}}}$	Trans-alchene disostituito	Reazione continua formando alcano tetrasostituito
				${\displaystyle {\ce {HCl}}}$ (Idroalogenazione)	${\displaystyle {\ce {CH2=CH-Cl}}}$	Alchene monosostituito	Regola di Markovnikov
				${\displaystyle {\ce {H2O}}}$ (Idratazione)	${\displaystyle {\ce {CH2=CH-OH -> CH2-CH=O}}}$	Enolo ${\displaystyle \longrightarrow }$ Aldeide o chetone
Alcoli	${\displaystyle {\ce {CH3-CH2-OH}}}$	-olo	Sostituzione nucleofila	${\displaystyle {\ce {HCl}}}$	${\displaystyle {\ce {CH3-CH2-Cl}}}$ + ${\displaystyle {\ce {H2O}}}$	Alogenuro alchilico + acqua
			Disidratazione	${\displaystyle {\ce {H2SO4}}}$	${\displaystyle {\ce {CH2=CH2}}}$ + ${\displaystyle {\ce {H2O}}}$	Alchene
			Ossidazione	${\displaystyle {\ce {KMnO4}}}$ o ${\displaystyle {\ce {Na2Cr2O7}}}$	${\displaystyle {\ce {CH3-CH=O}}}$	Il prodotto può essere: Aldeide, se alcol primario Chetone, se alcol secondario Nessuna reazione, se alcol terziario	Reazione dell'alcol primario continua fino a diventare un acido carbossilico

Variabili aleatorie

Variabile	Tipo	Notazione	Massa/Densità	Media	Varianza	Uso	Relazione con altre
Uniforme discreta	DF	n/a	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{k}}}$	${\displaystyle E(X)={\frac {k+1}{2}}}$	${\displaystyle Var(X)={\frac {k^{2}-1}{12}}}$	${\displaystyle k}$ eventi con stessa probabilità, per esempio lancio di dado
Bernoulliana	DF	${\displaystyle B(1,p)}$	${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-p{\text{ se }}x=0\\p{\text{ se }}x=1\end{cases}}}$	${\displaystyle E(X)=p}$	${\displaystyle Var(X)=p-p^{2}}$	Evento singolo (vero o falso) con probabilità ${\displaystyle p}$ di avvenire
Binomiale	DF	${\displaystyle B(n,p)}$	${\displaystyle f(x)={\binom {n}{x}}p^{x}(1-p)^{n-x}}$	${\displaystyle E(X)=np}$	${\displaystyle Var(X)=np(1-p)}$	Evento singolo (vero o falso) con probabilità ${\displaystyle p}$ ripetuto ${\displaystyle n}$ volte, ${\displaystyle f(x)}$ probabilità che sia avvenuto ${\displaystyle x}$ volte	Somma di ${\displaystyle n}$ bernoulliane ${\displaystyle B(1,p)}$ indipendenti
Geometrica	DI	${\displaystyle BN(1,p)}$	${\displaystyle f(x)=p(1-p)^{x}\,(x\geq 1)}$	${\displaystyle E(X)={\frac {1}{p}}}$	${\displaystyle Var(X)={\frac {1-p}{p^{2}}}}$	Evento singolo ripetuto infinite volte, ${\displaystyle f(x)}$ è la probabilità che il primo successo arrivi al tentativo ${\displaystyle x}$
Binomiale negativa	DI	${\displaystyle BN(r,p)}$	${\displaystyle f(x)={\binom {x-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{x-r}\,(x\geq r)}$	${\displaystyle E(X)={\frac {r}{p}}}$	${\displaystyle Var(X)={\frac {rp}{(1-p)^{2}}}}$	Evento singolo ripetuto infinite volte, probabilità che l'${\displaystyle r}$-esimo successo arrivi al tentativo ${\displaystyle x}$	Somma di geometriche ${\displaystyle BN(1,p)}$ indipendenti
Ipergeometrica	DF	${\displaystyle IPG(D,N,n)}$	${\displaystyle f(x)={\frac {{\binom {D}{x}}{\binom {N-D}{n-x}}}{\binom {N}{m}}}}$${\displaystyle (\max(0,n-(N-D))\leq x\leq \min(D,n))}$	${\displaystyle E(X)=n{\frac {D}{N}}}$	${\displaystyle Var(X)={\frac {N-n}{N-1}}\cdot n\cdot {\frac {D(N-D)}{N^{2}}}}$	Specifico per le estrazioni senza rimessa: ci sono ${\displaystyle N}$ palline in un'urna di cui ${\displaystyle D}$ "buone", voglio sapere quante di queste prendo in ${\displaystyle n}$ estrazioni.	Somma di ${\displaystyle n}$ bernoulliane con stessa probabilità ${\displaystyle {\frac {D}{N}}}$, ma non indipendenti (covarianza ${\displaystyle {\frac {D(D-N)}{N^{2}(N-1)}}}$). Al limite per ${\displaystyle N\to \infty }$, tende alla binomiale
Schema delle telefonate: In un centralino si vuole capire quante telefonate arrivano in un intervallo di tempo ${\displaystyle (0,T)}$. Si divide l'intervallo in tanti piccoli intervallini ${\displaystyle \Delta t}$ di uguale lunghezza ${\displaystyle {\frac {t}{n}}}$. Ogni intervallino ha una probabilità ${\displaystyle p}$ che ci sia una telefonata. Fissato ${\displaystyle \mu =np}$ e imponiamo il limite ${\displaystyle n\to \infty }$. Questo sarà il cosiddetto schema delle telefonate
Poisson	DI	${\displaystyle P(\mu )}$	${\displaystyle f(x)={\frac {\mu ^{x}}{x!}}e^{-\mu }}$	${\displaystyle E(X)=\mu }$	${\displaystyle Var(X)=\mu }$	Nello schema delle telefonate, voglio sapere qual è la probabilità che siano arrivate ${\displaystyle x}$ telefonate nell'intervallo di tempo scelto	Limite della binomiale per ${\displaystyle np=\mu }$ fissato con ${\displaystyle n\to \infty }$
Uniforme continua	CF	${\displaystyle U(a,b)}$	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{b-a}}}$	${\displaystyle E(X)={\frac {b+a}{2}}}$	${\displaystyle Var(X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$	Ogni valore tra i margini del segmento è equivalente
Esponenziale	CP	${\displaystyle Exp(\lambda )}$	${\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}$	${\displaystyle E(X)={\frac {1}{\lambda }}}$	${\displaystyle Var(X)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$	Nello schema delle telefonate, l'esponenziale misura il tempo di arrivo della prima telefonata (con ${\displaystyle \lambda dt=dp}$, oppure quello tra due telefonate successive	Corrispondente continuo della geometrica
Gamma	CP	${\displaystyle gamma(\alpha ,\lambda )}$	${\displaystyle f(x)={\frac {\lambda (\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\int _{0}^{\infty }z^{\alpha -1}e^{-z}dz}}={\frac {\lambda (\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle E(X)={\frac {\alpha }{\lambda }}}$	${\displaystyle Var(X)={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}}$
Erlang	CP	${\displaystyle gamma(r,\lambda )}$	${\displaystyle f(x)={\frac {\lambda (\lambda x)^{r-1}e^{-\lambda x}}{\int _{0}^{\infty }z^{r-1}e^{-z}dz}}={\frac {\lambda (\lambda x)^{r-1}e^{-\lambda x}}{(r-1)!}}}$	${\displaystyle E(X)={\frac {r}{\lambda }}}$	${\displaystyle Var(X)={\frac {r}{\lambda ^{2}}}}$	Nello schema delle telefonate, misura il tempo necessario a ricevere esattamente ${\displaystyle r}$ telefonate	Letteralmente la gamma ma con ${\displaystyle \alpha }$ naturale. Corrispettivo continuo della binomiale negativa. Somma di ${\displaystyle r}$ esponenziali ${\displaystyle Exp(\lambda )}$ indipendenti
Chi quadrato	CP	${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}}$	${\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {1}{2}}({\frac {1}{2}}x)^{{\frac {\nu }{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}x}}{\int _{0}^{\infty }z^{{\frac {\nu }{2}}-1}e^{-z}dz}}={\frac {{\frac {1}{2}}({\frac {1}{2}}x)^{{\frac {\nu }{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}x}}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}}$	${\displaystyle E(X)=\nu }$	${\displaystyle Var(X)=2\nu }$		${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}=gamma\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$.
Gaussiana	CI	${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$; Se ${\displaystyle \mu =0,\sigma =1}$ anche detta ${\displaystyle Z}$	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$	${\displaystyle E(X)=\mu }$	${\displaystyle Var(X)=\sigma ^{2}}$	Quando non sai cosa usare, la gaussiana non è mai un errore	Qualsiasi somma di variabili indipendenti identicamente distribuite converge in distribuzione a una gaussiana.
T di Student	CI	${\displaystyle T_{\nu }}$	${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {\nu \pi }}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{\frac {\nu +1}{2}}}}}$	${\displaystyle E(X)=\mu }$	${\displaystyle Var(X)=\sigma ^{2}}$	Quando non sai cosa usare, la gaussiana non è mai un errore	Qualsiasi somma di variabili indipendenti identicamente distribuite converge in distribuzione a una gaussiana.
Gaussiana bivariata	DCI	n/a	${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}e^{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[\left({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}\right)^{2}+\left({\frac {x-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}}\right)^{2}-2\rho \left({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}\right)\left({\frac {x-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}}\right)\right]}}$	${\displaystyle E(X)=\mu _{X},E(Y)=\mu _{Y}}$${\displaystyle E(X|Y=y)=\mu _{X}+\rho {\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{Y}}}(y-\mu _{Y})}$${\displaystyle E(Y|X=x)=\mu _{Y}+\rho {\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}(x-\mu _{X})}$	${\displaystyle Var(X)=\sigma _{X}^{2},Var(Y)=\sigma _{Y}^{2}}$${\displaystyle Cov(X,Y)=\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}}$${\displaystyle Var(X|Y=y)=\sigma _{X}^{2}(1-\rho ^{2})}$${\displaystyle Var(Y|X=x)=\sigma _{Y}^{2}(1-\rho ^{2})}$		Congiunta di due gaussiane di correlazione lineare ${\displaystyle \rho }$ (ma non sempre la congiunta di due gaussiane è gaussiana)