Rappresentazione di interazione

Disambiguazione – "Rappresentazione di Dirac" rimanda qui. Se stai cercando la rappresentazione di Dirac delle matrici gamma, vedi Gamma_di_Dirac#La_rappresentazione_di_Dirac.

In meccanica quantistica, la rappresentazione di interazione o rappresentazione di Dirac (interaction picture, in inglese) è una rappresentazione della meccanica quantistica intermedia rispetto alla rappresentazione di Schrödinger e la rappresentazione di Heisenberg. Nella rappresentazione di interazione sia il vettore di stato che gli operatori evolvono nel tempo (seppure in modo diverso).

Gli operatori e i vettori di stato nella rappresentazione di interazione sono collegati da un cambio di base, dato da una trasformazione unitaria. Per passare alla rappresentazione di interazione si divide l'Hamiltoniana (che è la medesima sia nella rappresentazione di Schrödinger che in quella di Heisenberg, se non c'è una dipendenza esplicita dal tempo) in due parti:

${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}}$

la divisione in queste due parti è arbitraria ma è utile scegliere ${\displaystyle H_{0}}$ in modo tale che sia esattamente risolubile e considerare ${\displaystyle H_{1}}$ come una perturbazione.

Se l'Hamiltoniana ha una dipendenza temporale esplicita (come nel caso di un sistema che interagisce con un campo elettrico che varia nel tempo) è utile inserire i termini che presentano dipendenza temporale in ${\displaystyle H_{1}}$, lasciando ${\displaystyle H_{0}}$ indipendente dal tempo.

Un vettore di stato nella rappresentazione di interazione è definito da^[1]:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{I}=e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{S}}$

(dove ${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{S}}$ è il vettore di stato nella rappresentazione di Schrödinger.)

Un operatore nella rappresentazione di interazione è definito da:

${\displaystyle A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.}$

Si noti che ${\displaystyle A_{S}}$ tipicamente non dipenderà da t (come succede per tutti gli operatori nella rappresentazione di Schrödinger), a meno che non ci sia una esplicita dipendenza dal tempo.

Per l'operatore ${\displaystyle H_{0}}$ le rappresentazioni di Schrödinger e quella di interazione coincidono:

${\displaystyle H_{0,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{0,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=H_{0,S}}$

(questo può essere provato usando il fatto che gli operatori commutano tra loro). Questo particolare operatore quindi si può chiamare ${\displaystyle H_{0}}$ senza ambiguità.

Per l'Hamiltoniana perturbata ${\displaystyle H_{1,I}}$, abbiamo:

${\displaystyle H_{1,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{1,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }}$

dove l'Hamiltoniana perturbata nella rappresentazione di interazione diventa dipendente dal tempo (a meno che ${\displaystyle [H_{1,s},H_{0,s}]=0}$).

È possibile ottenere la rappresentazione di interazione anche per una Hamiltoniana dipendente dal tempo ${\displaystyle H_{0,S}(t)}$, ma gli esponenziali devono essere sostituiti con i corrispondenti operatori unitari di evoluzione temporale dati da ${\displaystyle H_{0,S}(t)}$ ovvero, più esplicitamente, da integrali con esponenziali T-ordinati.

Si può mostrare che la matrice densità si trasforma nella rappresentazione di interazione come ogni altro operatore. In particolare siano ${\displaystyle \rho _{I}}$ e ${\displaystyle \rho _{S}}$ rispettivamente nella rappresentazione di interazione ed in quella di Schrödinger. Se c'è una probabilità ${\displaystyle p_{n}}$ di essere nello stato ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$, allora

${\displaystyle \rho _{I}(t)=\sum _{n}p_{n}(t)|\psi _{n,I}(t)\rangle \langle \psi _{n,I}(t)|=\sum _{n}p_{n}(t)e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{n,S}(t)\rangle \langle \psi _{n,S}(t)|e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=e^{iH_{0,S}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }}$

Trasformando l'equazione di Schrödinger nella rappresentazione di interazione si ottiene:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle =H_{1,I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .}$

Questa espressione è nota come equazione di Schwinger-Tomonaga.

Dalla definizione e tramite la regola di Leibniz per le derivate:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle =i\hbar {\biggl [}{\frac {i}{\hbar }}H_{0}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}|\psi _{S}(t)\rangle +e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}{\frac {d}{dt}}|\psi _{S}(t)\rangle {\biggr ]}={\biggl [}-H_{0}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}+e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}H_{0}+e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}H_{1,S}{\biggr ]}|\psi _{S}(t)\rangle =e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}H_{1,S}|\psi _{S}(t)\rangle }$

In cui l'ultimo passaggio è dovuto alla commutazione tra gli operatori. Per riportarsi in rappresentazione di interazione, ora:

${\displaystyle e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}H_{1,S}|\psi _{S}(t)\rangle =e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}H_{1,S}e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}t}|\psi _{S}(t)\rangle =H_{1,I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .}$

Se l'operatore ${\displaystyle A_{S}}$ non ha dipendenza esplicita dal tempo, allora l'evoluzione temporale per il corrispondente operatore ${\displaystyle A_{I}(t)}$ è data da:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{I}(t)=\left[A_{I}(t),H_{0}\right].\;}$

nella rappresentazione di interazione gli operatori evolvono nel tempo come nella rappresentazione di Heisenberg con Hamiltoniana ${\displaystyle H'=H_{0}}$.

Trasformando l'equazione di Schwinger-Tomonaga nel linguaggio della matrice densità (o equivalentemente trasformando l'equazione di Von Neumann nella rappresentazione di interazione si ottiene:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{I}(t)=\left[H_{1,I}(t),\rho _{I}(t)\right].}$

Lo scopo della rappresentazione di interazione è di scaricare tutta la dipendenza temporale dovuta ad H₀ sugli operatori, lasciando che sia solo H_{1, I} a determinare l'evoluzione temporale dei ket di stato.

La rappresentazione di interazione è conveniente quando si considerano gli effetti di un piccolo termine di interazione, H_{1, S}, che viene aggiunto all'Hamiltoniana di un sistema analiticamente risolubile o del quale si conoscano le soluzioni, H_{0, S}. Passando alla rappresentazione di interazione è possibile usare la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo per trovare gli effetti di H_{1, I}.

• John S. Townsend, A Modern Approach to Quantum Mechanics, 2nd ed., Sausalito, CA, University Science Books, 2000, ISBN 1-891389-13-0.
• Jun John Sakurai, 2.2, in Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, febbraio 1990, ISBN 88-08-12706-0.

• Notazione bra-ket
• Equazione di Schrödinger
• Teorema di Haag

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