Nucleo di Fejér

In matematica, il nucleo di Fejér è un'approssimazione dell'identità sul toro e viene applicato allo studio della serie di Fourier, come un'approssimazione all'identità dell'operatore di Fourier. Prende il nome dal matematico ungherese Lipót Fejér (1880 – 1959).

Il nucleo di Fejér è definito come

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{\vert j\vert \leq k}e^{ijx}}$

Esso può anche essere espresso nel seguente modo:

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\left({\frac {\sin {\frac {nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\left({\frac {1-\cos(nx)}{1-\cos x}}\right)}$,

dove tale espressione è derivata dalla definizione classica, o nella forma

${\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{|k|\leq n-1}\left(1-{\frac {|k|}{n}}\right)e^{ikx}.}$

Essendo un'approssimazione dell'identità sul toro, esso soddisfa le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle ||F_{N}||_{1}\leq M}$ con ${\displaystyle M<\infty }$
• ${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(x)dx=1}$
• ${\displaystyle \int _{\delta \leq \vert x\vert \leq \pi }F_{n}(x)dx\longrightarrow 0\ \ {\text{per}}\ \ n\longrightarrow +\infty }$

Per ${\displaystyle f\geq 0}$ di periodo ${\displaystyle 2\pi }$ si ha

${\displaystyle 0\leq (f*F_{n})(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)F_{n}(x-y)\,dy.}$

Per la disuguaglianza di Young,

${\displaystyle \|F_{n}*f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}\leq \|f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}}$ per ogni ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$

per ${\displaystyle f\in L^{p}}$

Inoltre, se ${\displaystyle f\in L^{1}([-\pi ,\pi ])}$ si ha

${\displaystyle f*F_{n}\rightarrow f}$ quasi ovunque

Poiché ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ha misura finita, ${\displaystyle L^{1}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{p}([-\pi ,\pi ])\supset \cdots \supset L^{\infty }([-\pi ,\pi ])}$ il risultato sopra vale anche per gli altri spazi ${\displaystyle L^{p}}$, ${\displaystyle p\geq 1}$.

• Hoffman, Kenneth (1988). Banach Spaces of Analytic Functions. Dover. p. 17. ISBN 0-486-45874-1. DOI https://doi.org/10.1007/BFb0069197.
• Konigsberger, Konrad. Analysis 1 (in German) (6th ed.). Springer. p. 322.

• Nucleo di Dirichlet
• Somma di Cesaro
• Serie di Fourier
• Nucleo di sommabilità

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