Classificazione delle superfici

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In geometria, le superfici compatte vengono completamente classificate dal punto di vista topologico da alcuni parametri, quali il genere (il "numero di manici"), l'orientabilità ed il numero di componenti connesse del bordo. Il risultato è quindi una classificazione delle superfici dal punto di vista topologico, un risultato importante in topologia algebrica.

Una superficie astratta è una varietà topologica di dimensione 2, cioè uno spazio topologico di Hausdorff tale che ogni punto ha un intorno aperto omeomorfo al piano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Una superficie con bordo è una varietà con bordo di dimensione 2: ogni punto ha un intorno aperto omeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ oppure al semipiano

${\displaystyle \{(x,y)|x\geqslant 0\}\subset \mathbb {R} ^{2}.}$

I punti del secondo tipo formano il bordo della superficie. Se la superficie è compatta, il bordo è omeomorfo a ${\displaystyle k}$ circonferenze disgiunte.

Una superficie regolare, o regolare a tratti, si definisce chiusa se risulta priva di bordo. La chiusura di una superficie è strettamente legata al concetto di orientabilità: una superficie chiusa ha sempre due facce distinte e risulta impossibile passare dall'una all'altra se non si attraversa la superficie stessa. Un esempio plausibile di superficie chiusa, e per di più orientabile, è la sfera, nella quale è impossibile passare dalla faccia esterna (guscio sferico) a quella interna se non attraverso di essa.

Una superficie di tipo finito ${\displaystyle X}$ è una superficie connessa ottenuta rimuovendo ${\displaystyle r}$ punti da una superficie compatta con bordo. Una tale superficie è compatta se e solo se ${\displaystyle r=0}$. Una superficie compatta e senza bordo (cioè con ${\displaystyle k=r=0}$) è detta chiusa.

Una superficie di tipo finito ${\displaystyle X}$ ha un genere ${\displaystyle g}$. Intuitivamente, questo è il "numero di manici" della superficie. Può essere definito come il numero massimo di curve semplici chiuse contenute nella superficie aventi complementare connesso.

Il genere non cambia se vengono rimossi alcuni punti dalla superficie. La sfera ed il disco hanno genere zero. Il piano proiettivo, il nastro di Möbius ed il toro hanno genere uno. La bottiglia di Klein ha genere due. Tutti questi esempi sono compatti, per ottenere esempi non compatti è sufficiente rimuovere alcuni punti.

Una superficie può infine essere orientabile o meno. Una superficie non è orientabile se "ha una faccia sola", ed è orientabile se ne ha due. Una superficie è non-orientabile se e solo se contiene un nastro di Möbius. Sfera, disco e toro sono orientabili. Piano proiettivo, nastro di Möbius e bottiglia di Klein non lo sono.

Per una superficie di tipo finito è definita quindi la quaterna ${\displaystyle (g,k,r,o)}$, dove ${\displaystyle o=1}$ se è orientabile e ${\displaystyle o=0}$ se non lo è. Il teorema di classificazione topologica delle superfici asserisce il fatto seguente.

Quindi due superfici sono omeomorfe se hanno lo stesso genere, lo stesso numero di componenti di bordo, lo stesso numero di buchi, e se sono entrambe orientabili o non-orientabili. La quaterna di valori ${\displaystyle (g,k,r,o)}$ è quindi un sistema completo di invarianti per le superfici.

Un diffeomorfismo è una funzione che, oltre ad essere un omeomorfismo, è anche differenziabile (con la sua inversa).

Due superfici risultano essere diffeomorfe se e solo se sono omeomorfe. Quindi lo stesso teorema di classificazione è valido sostituendo la parola "omeomorfe" con "diffeomorfe".

Una superficie di tipo finito è chiusa se è compatta e senza bordo. La relazione di equivalenza omotopica è equivalente a quella di omeomorfismo per le superfici chiuse, ma è drasticamente meno fine per le superfici non chiuse: esistono molte superfici omotopicamente equivalenti che non sono omeomorfe. Vale il risultato seguente:

La caratteristica di Eulero di una superficie con invarianti ${\displaystyle (g,k,r,o)}$ è

${\displaystyle \chi ={\begin{cases}2-2g-k-r&{\mbox{se }}o=1,\\2-g-k-r&{\mbox{se }}o=0.\end{cases}}}$

Ad esempio, il nastro di Möbius e l'anello sono omotopicamente equivalenti ma non omeomorfe. Un altro esempio è fornito dalla sfera con ${\displaystyle r=3}$ buchi ed il toro con ${\displaystyle r=1}$ buco, entrambi aventi ${\displaystyle \chi =-1}$.

Due superfici di tipo finito hanno lo stesso gruppo fondamentale se e solo se sono omotopicamente equivalenti. Nel caso delle superfici chiuse, il gruppo fondamentale è quindi un invariante completo (due superfici chiuse sono omeomorfe se e solo se hanno lo stesso gruppo fondamentale).

In effetti, una superficie non-chiusa ha gruppo fondamentale isomorfo al gruppo libero su ${\displaystyle 1-\chi }$ elementi, dove ${\displaystyle \chi }$ è la caratteristica di Eulero.

• Superficie di Riemann
• Teorema di uniformizzazione di Riemann

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