Sistema numerico quaternario

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Il quaternario è un sistema numerico in base 4, che utilizza le cifre 0, 1, 2 e 3 per rappresentare qualsiasi numero reale.

"Quattro" è il numero più grande all'interno dell'intervallo di sottotitolazione e uno dei due numeri che è sia un quadrato che un numero altamente composito (l'altro è 36), rendendo il quaternario una scelta conveniente per una base su questa scala. Pur essendo due volte più grande, la sua economia di base è uguale a quella del sistema binario. Tuttavia, non è migliore nella localizzazione dei numeri primi (la base migliore più piccola è la base primitiva sei, il senario).

Il quaternari condivide con tutti i sistemi numerici a base fissa molte proprietà, come la capacità di rappresentare qualsiasi numero reale con una rappresentazione canonica (quasi unica) e le caratteristiche delle rappresentazioni di numeri razionali e numeri irrazionali.

Relazione con altri sistemi numerici posizionali

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Numeri da zero a sessantaquattro in sistema quaternario standard
Decimale 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Binario 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Quaternario 0 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33
Ottale 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17
Esadecimale 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Decimale 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Binario 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111
Quaternario 100 101 102 103 110 111 112 113 120 121 122 123 130 131 132 133
Ottale 20 21 22 23 24 25 26 27 30 31 32 33 34 35 36 37
Esadecimale 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F
Decimale 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
Binario 100000 100001 100010 100011 100100 100101 100110 100111 101000 101001 101010 101011 101100 101101 101110 101111
Quaternario 200 201 202 203 210 211 212 213 220 221 222 223 230 231 232 233
Ottale 40 41 42 43 44 45 46 47 50 51 52 53 54 55 56 57
Esadecimale 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F
Decimale 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
Binario 110000 110001 110010 110011 110100 110101 110110 110111 111000 111001 111010 111011 111100 111101 111110 111111 1000000
Quaternario 300 301 302 303 310 311 312 313 320 321 322 323 330 331 332 333 1000
Ottale 60 61 62 63 64 65 66 67 70 71 72 73 74 75 76 77 100
Esadecimale 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3B 3C 3D 3E 3F 40

Relazione con i sistemi binario ed esadecimale

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Tabella dell'addizione
+ 1 2 3
1 2 3 10
2 3 10 11
3 10 11 12

Come per i sistemi numerali ottale ed esadecimale, il quaternario ha una relazione speciale con il sistema numerico binario. Ciascuna base 4, 8 e 16 è una potenza di 2, quindi la conversione da e verso il binario viene ottenuta abbinando ogni cifra con 2, 3 o 4 cifre binarie o bit. Ad esempio, in base 4,

230210 4 = 10 11 00 10 01 00 2 .

Poiché 16 è una potenza di 4, la conversione tra queste basi può essere implementata abbinando ciascuna cifra esadecimale a 2 cifre quaternarie. Seguendo l'esempio precedente,

23 02 10 4 = B24 16
Tabella della moltiplicazione
× 1 2 3
1 1 2 3
2 2 10 12
3 3 12 21

Anche se ottale ed esadecimale sono ampiamente utilizzati in informatica e programmazione di computer nella discussione e nell'analisi dell'aritmetica binaria e in logica, il sistema quaternario non gode dello stesso status.

Sebbene il quaternario abbia un uso pratico limitato, può essere utile se fosse mai necessario eseguire l'aritmetica esadecimale senza una calcolatrice. Ogni cifra esadecimale può essere trasformata in una coppia di cifre quaternarie, quindi l'aritmetica può essere eseguita in modo relativamente semplice prima di convertire il risultato finale in esadecimale. Il sistema quaternario è conveniente per questo scopo, poiché i numeri hanno solo la metà della lunghezza delle cifre rispetto al binario, pur avendo tabelle di moltiplicazione e addizione molto semplici con solo tre elementi non-triviali unici.

Per analogia con il byte e il nibble, una cifra quaternaria viene talvolta chiamata crumb ("briciola") .

Frazioni

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A causa del fatto di avere solo fattori di due, molte frazioni quaternarie hanno cifre ripetute, sebbene queste tendano ad essere abbastanza semplici:

Base decimale

Primi fattori della base: 2, 5

Primi fattori sotto la base: 3

Primi fattori sopra la base: 11

Altri primi fattori: 7 13 17 19 23 29 31 		Base quaternaria

Primi fattori della base: 2

Primi fattori sotto la base: 3

Primi fattori sopra la base: 11

Altri primi fattori: 13 23 31 101 103 113 131 133
Frazione Fattori primi

del denominatore 		Rappresentazione posizionale Rappresentazione posizionale Fattori primi

del denominatore 		Frazione
1/2 2 0.5 0.2 2 1/2
1/3 3 0.3333... = 0.3 0.1111... = 0.1 3 1/3
1/4 2 0.25 0.1 2 1/10
1/5 5 0.2 0.03 11 1/11
1/6 2, 3 0.16 0.02 2, 3 1/12
1/7 7 0.142857 0.021 13 1/13
1/8 2 0.125 0.02 2 1/20
1/9 3 0.1 0.013 3 1/21
1/10 2, 5 0.1 0.012 2, 11 1/22
1/11 11 0.09 0.01131 23 1/23
1/12 2, 3 0.083 0.01 2, 3 1/30
1/13 13 0.076923 0.010323 31 1/31
1/14 2, 7 0.0714285 0.0102 2, 13 1/32
1/15 3, 5 0.06 0.01 3, 11 1/33
1/16 2 0.0625 0.01 2 1/100
1/17 17 0.0588235294117647 0.0033 101 1/101
1/18 2, 3 0.05 0.0032 2, 3 1/102
1/19 19 0.052631578947368421 0.003113211 103 1/103
1/20 2, 5 0.05 0.003 2, 11 1/110
1/21 3, 7 0.047619 0.003 3, 13 1/111
1/22 2, 11 0.045 0.002322 2, 23 1/112
1/23 23 0.0434782608695652173913 0.00230201121 113 1/113
1/24 2, 3 0.0416 0.002 2, 3 1/120
1/25 5 0.04 0.0022033113 11 1/121
1/26 2, 13 0.0384615 0.0021312 2, 31 1/122
1/27 3 0.037 0.002113231 3 1/123
1/28 2, 7 0.03571428 0.0021 2, 13 1/130
1/29 29 0.0344827586206896551724137931 0.00203103313023 131 1/131
1/30 2, 3, 5 0.03 0.002 2, 3, 11 1/132
1/31 31 0.032258064516129 0.00201 133 1/133
1/32 2 0.03125 0.002 2 1/200
1/33 3, 11 0.03 0.00133 3, 23 1/201
1/34 2, 17 0.02941176470588235 0.00132 2, 101 1/202
1/35 5, 7 0.0285714 0.001311 11, 13 1/203
1/36 2, 3 0.027 0.0013 2, 3 1/210

Utilizzo nelle lingue umane

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Molte o tutte le lingue chumash originariamente utilizzavano un sistema di conteggio su base 4, in cui i nomi dei numeri erano strutturati in base ai multipli di 4 e 16 (non 10). C'è un elenco sopravvissuto di numeri in parole in lingua Ventureño fino a 32 scritte da un prete spagnolo all'incirca nel 1819.[1]

I numeri di Kharosthi hanno un sistema di conteggio parziale della base 4 da 1 a 10 decimale.

Curve di Hilbert

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I numeri quaternari sono usati nella rappresentazione delle curve di Hilbert in 2D. Qui un numero reale compreso tra 0 e 1 viene convertito nel sistema quaternario. Ogni singola cifra indica in quale dei rispettivi 4 sub-quadranti verrà proiettato il numero.

Genetica

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Si possono tracciare parallelismi tra numeri quaternari e il modo in cui il codice genetico è rappresentato dal DNA . I quattro nucleotidi del DNA in ordine alfabetico, abbreviati A, C, G e T, possono essere presi per rappresentare le cifre quaternarie in ordine numerico 0, 1, 2 e 3. Con questa codifica, le coppie di cifre complementari 0↔3 e 1↔2 (binario 00↔11 e 01↔10) corrispondono alla complementazione delle coppie di basi : A↔T e C↔G e possono essere memorizzate come dati nella sequenza del DNA.[2]

Ad esempio, la sequenza nucleotidica GATTACA può essere rappresentata dal numero quaternario 2033010 (= decimale 9156 o binario 10 00 11 11 00 01 00).

Trasmissione dati

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I codici di linea quaternaria sono stati usati per la trasmissione, dall'invenzione del telegrafo al codice 2B1Q utilizzato nei più moderni circuiti ISDN.

Informatica

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Alcuni computer hanno utilizzato l'aritmetica in virgola mobile quaternaria, tra cui l'Illinois ILLIAC II (1962)[3] e i sistemi di rilevamento del sito ad alta risoluzione Digital Field System DFS IV e DFS  V.[4]

Note

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  1. ^ Beeler, Madison S. (1986). "Chumashan Numerals". In Closs, Michael P. (ed.). Native American Mathematics. ISBN 0-292-75531-7.
  2. ^ "Bacterial based storage and encryption device" (PDF). iGEM 2010: The Chinese University of Hong Kong. 2010. Archived from the original (PDF) on 2010-12-14. Retrieved 2010-11-27.
  3. ^ Beebe, Nelson H. F. (2017-08-22). "Chapter H. Historical floating-point architectures". The Mathematical-Function Computation Handbook - Programming Using the MathCW Portable Software Library (1 ed.). Salt Lake City, UT, USA: Springer International Publishing AG. p. 948. doi:10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446.
  4. ^ Parkinson, Roger (2000-12-07). "Chapter 2 - High resolution digital site survey systems - Chapter 2.1 - Digital field recording systems". High Resolution Site Surveys (1 ed.). CRC Press. p. 24. ISBN 978-0-20318604-6. ISBN 0-20318604-4. Retrieved 2019-08-18. […] Systems such as the [Digital Field System] DFS IV and DFS V were quaternary floating-point systems and used gain steps of 12 dB. […] (256 pages)

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Collegamenti esterni

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