Metodo di Laplace

Nell'analisi matematica, il metodo di Laplace, il cui nome deriva da Pierre-Simon Laplace, è una tecnica usata per approssimare integrali nella forma

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx,}$

dove ${\displaystyle f(x)}$ è una qualunque funzione derivabile due volte, ${\displaystyle M}$ è un numero "grande" e gli estremi d'integrazione ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ possono essere anche infiniti. Questa tecnica fu per la prima volta presentata nell'articolo "Mémoir sur la probabilité des causes par évènemens" di Laplace del 1774.

Si assuma che la funzione ${\displaystyle f(x)}$ abbia un unico massimo globale in ${\displaystyle x_{0}}$. Allora, il valore ${\displaystyle f(x_{0})}$ sarà più grande degli altri valori di ${\displaystyle f(x)}$. Se si moltiplica questa funzione per un numero grande ${\displaystyle M}$, il rapporto fra ${\displaystyle Mf(x_{0})}$ e ${\displaystyle Mf(x)}$ rimane lo stesso (poiché ${\displaystyle Mf(x_{0})/Mf(x)=f(x_{0})/f(x))}$, ma crescerà esponenzialmente nella funzione ${\displaystyle e^{Mf(x)}}$ (vedere figura). Perciò solo punti ${\displaystyle x}$ in un intorno di ${\displaystyle x_{0}}$ daranno significativi contributi all'integrale della funzione, che può essere stimato.

Per descrivere e motivare il metodo, sono necessarie alcune ipotesi. Si assuma che ${\displaystyle x_{0}}$ non sia un estremo di integrazione, che il valore di ${\displaystyle f(x)}$ non possa essere molto vicino a ${\displaystyle f(x_{0})}$ a meno che ${\displaystyle x}$ sia vicino a ${\displaystyle x_{0}}$ e che la derivata seconda ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$.

Si può sviluppare ${\displaystyle f(x)}$ intorno a ${\displaystyle x_{0}}$ usando il teorema di Taylor e ottenendo

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+R,}$

dove ${\displaystyle R=O\left((x-x_{0})^{3}\right).}$

Poiché ${\displaystyle f}$ ha un massimo globale in ${\displaystyle x_{0}}$, e siccome ${\displaystyle x_{0}}$ non è un estremo, esso è un punto stazionario, perciò la derivata di ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x_{0}}$ si annulla. Dunque, la funzione può essere approssimata al secondo ordine come

${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})-{\frac {1}{2}}|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2},}$

per ${\displaystyle x}$ vicino a ${\displaystyle x_{0}}$ (si ricordi che la derivata seconda nel punto di massimo ${\displaystyle x_{0}}$ è negativa). Le ipotesi assicurano la precisione dell'approssimazione

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx\approx e^{Mf(x_{0})}\int _{a}^{b}e^{-M|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}/2}\,dx}$

(vedere la figura sulla destra). Quest'ultimo integrale sarebbe un integrale di Gauss se i limiti di integrazione andassero da ${\displaystyle -\infty }$ a ${\displaystyle +\infty }$ (che può essere assunto dato che l'esponenziale decade molto velocemente lontano da ${\displaystyle x_{0}}$), e pertanto può essere calcolato. Si trova così che

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{M|f''(x_{0})|}}}e^{Mf(x_{0})},\qquad {\text{con }}M\to +\infty .}$

Si assuma che ${\displaystyle f(x)}$ sia una funzione di classe ${\displaystyle C^{2}}$ su ${\displaystyle [a,b]}$ con ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ l'unico punto tale che ${\displaystyle f(x_{0})=\max _{[a,b]}f(x)}$. Si assuma inoltre che ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$.

Allora

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}}=1.}$

Minorante:

Sia ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Per la continuità di ${\displaystyle f''}$ esiste ${\displaystyle \delta >0}$ tale che se ${\displaystyle |x_{0}-c|<\delta }$ allora ${\displaystyle f''(c)\geq f''(x_{0})-\varepsilon }$. Dal teorema di Taylor, per ogni ${\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )}$, ${\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})+{\frac {1}{2}}(f''(x_{0})-\varepsilon )(x-x_{0})^{2}}$.

Quindi si ha il seguente minorante:

${\displaystyle \int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx\geq \int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{nf(x)}\,dx\geq e^{nf(x_{0})}\int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{{\frac {n}{2}}(f''(x_{0})-\varepsilon )(x-x_{0})^{2}}\,dx=e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {1}{n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}\cdot \int _{-\delta {\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}^{\delta {\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy,}$

dove l'ultima uguaglianza è stata ottenuta dal cambio di variabili ${\displaystyle y={\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}(x-x_{0})}$. Si ricordi che ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$ e quindi è possibile estrarne la radice quadrata.

Se si dividono entrambi i membri della precedente disuguaglianza per ${\displaystyle e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}$ e se ne prende il limite si ottiene:

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}}\geq \lim _{n\to +\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\delta {\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}^{\delta {\sqrt {n(-f''(x_{0})+\varepsilon )}}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy\,\cdot {\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{-f''(x_{0})+\varepsilon }}}={\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{-f''(x_{0})+\varepsilon }}}.}$

Poiché è vero per un arbitrario ${\displaystyle \varepsilon }$, si trova il minorante:

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}}\geq 1.}$

Da notare che la dimostrazione funziona anche quando ${\displaystyle a=-\infty }$ oppure ${\displaystyle b=+\infty }$ (o entrambi).

Maggiorante: La dimostrazione del maggiorante è simile a quella del minorante ma ci sono alcuni inconvenienti. Di nuovo si inizia prendendo un ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ma allo scopo di far funzionare la dimostrazione serve che ${\displaystyle \varepsilon }$ sia piccolo abbastanza affinché ${\displaystyle f''(x_{0})+\varepsilon <0}$. Quindi, come sopra, dalla continuità di ${\displaystyle f''}$ e il teorema di Taylor si trova ${\displaystyle \delta >0}$ tale che se ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$, allora ${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})+{\frac {1}{2}}(f''(x_{0})+\varepsilon )(x-x_{0})^{2}}$. Infine per ipotesi (assumendo ${\displaystyle a,b}$ finiti) esiste un ${\displaystyle \eta >0}$ tale che se ${\displaystyle |x-x_{0}|\geq \delta }$, allora ${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})-\eta }$.

Si può ora calcolare il seguente maggiorante:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx\leq \int _{a}^{x_{0}-\delta }e^{nf(x)}\,dx+\int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{nf(x)}\,dx+\int _{x_{0}+\delta }^{b}e^{nf(x)}\,dx\leq (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}+\int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{nf(x)}\,dx\\&\leq (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}+e^{nf(x_{0})}\int _{x_{0}-\delta }^{x_{0}+\delta }e^{{\frac {n}{2}}(f''(x_{0})+\varepsilon )(x-x_{0})^{2}}\,dx\leq (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}+e^{nf(x_{0})}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{{\frac {n}{2}}(f''(x_{0})+\varepsilon )(x-x_{0})^{2}}\,dx\\&\leq (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}+e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0})-\varepsilon )}}}.\end{aligned}}}$

Se si dividono entrambi i membri della disuguaglianza per ${\displaystyle e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}$ e se ne prende il limite si ottiene:

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}}\leq \lim _{n\to +\infty }(b-a)e^{-\eta n}{\sqrt {\frac {n(-f''(x_{0}))}{2\pi }}}+{\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{-f''(x_{0})-\varepsilon }}}={\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{-f''(x_{0})-\varepsilon }}}.}$

Poiché ${\displaystyle \varepsilon }$ è arbitrario si ha il maggiorante:

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }{\frac {\int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}{e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}}\leq 1.}$

E combinandolo con il risultato ricavato prima si dimostra l'enunciato.

Da notare che la dimostrazione precedente fallisce quando ${\displaystyle a=-\infty }$ oppure ${\displaystyle b=+\infty }$ (o entrambi). Per trattare questi casi, c'è bisogno di ulteriori ipotesi. Un'assunzione sufficiente (e non necessaria) è che per ${\displaystyle n=1}$, l'integrale ${\displaystyle \int _{a}^{b}e^{nf(x)}\,dx}$ sia finito, e che il numero ${\displaystyle \eta }$ come sopra esista (si osservi che questa deve essere un'ipotesi solo nel caso di ${\displaystyle a}$ o ${\displaystyle b}$ infinito). La dimostrazione procede altrimenti come prima, ma gli integrali

${\displaystyle \int _{a}^{x_{0}-\delta }e^{nf(x)}\,dx+\int _{x_{0}+\delta }^{b}e^{nf(x)}\,dx}$

devono essere stimati superiormente da

${\displaystyle \int _{a}^{x_{0}-\delta }e^{nf(x)}\,dx+\int _{x_{0}+\delta }^{b}e^{nf(x)}\,dx\leq \int _{a}^{b}e^{f(x)}e^{(n-1)(f(x_{0})-\eta )}\,dx=e^{(n-1)(f(x_{0})-\eta )}\int _{a}^{b}e^{f(x)}\,dx}$

invece di ${\displaystyle (b-a)e^{n(f(x_{0})-\eta )}}$ come per il minorante, così che quando si divide per ${\displaystyle e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}$, si ottiene per questo termine

${\displaystyle {\frac {e^{(n-1)(f(x_{0})-\eta )}\int _{a}^{b}e^{f(x)}\,dx}{e^{nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{n(-f''(x_{0}))}}}}}=e^{-(n-1)\eta }{\sqrt {n}}e^{-f(x_{0})}\int _{a}^{b}e^{f(x)}\,dx{\sqrt {\frac {-f''(x_{0})}{2\pi }}}}$

il cui limite per ${\displaystyle n\to +\infty }$ è ${\displaystyle 0}$. Il resto della dimostrazione (l'analisi dei termini dominanti) procede come sopra.

La condizione data nel caso di intervallo infinito è, come detto precedentemente, sufficiente ma non necessaria. Tuttavia, la condizione è soddisfatta nella maggior parte delle applicazioni: la condizione semplicemente afferma che l'integrale che si sta studiando sia ben definito (non infinito) e che il massimo della funzione in ${\displaystyle x_{0}}$ sia un "vero" massimo (il numero ${\displaystyle \eta >0}$ deve esistere). Non c'è inoltre bisogno di richiedere che l'integrale sia finito per ${\displaystyle n=1}$ ma è sufficiente che lo sia per un qualche ${\displaystyle n=N}$.

Il metodo di Laplace può essere utilizzato per derivare l'approssimazione di Stirling

${\displaystyle N!\approx {\sqrt {2\pi N}}N^{N}e^{-N},}$

per un intero ${\displaystyle N}$ grande.

Dalla definizione della funzione Gamma, si ha

${\displaystyle N!=\Gamma (N+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{N}\,dx.}$

Ora effettuando il cambio di variabile

${\displaystyle x=Nz}$

si ottiene

${\displaystyle N!=\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}\left(Nz\right)^{N}N\,dz=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}z^{N}\,dz=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}e^{N\ln z}\,dz=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{N(\ln z-z)}\,dz.}$

Questo integrale ha la forma necessaria per il metodo di Laplace con

${\displaystyle f\left(z\right)=\ln {z}-z}$

che è derivabile con continuità due volte:

${\displaystyle f'(z)={\frac {1}{z}}-1,}$

${\displaystyle f''(z)=-{\frac {1}{z^{2}}}.}$

Il massimo di ${\displaystyle f(x)}$ si trova ${\displaystyle z_{0}=1}$, e la derivata seconda in quel punto ha valore ${\displaystyle -1}$. Pertanto, si ricava

${\displaystyle N!\approx N^{N+1}{\sqrt {\frac {2\pi }{N}}}e^{-N}={\sqrt {2\pi N}}N^{N}e^{-N}.}$

L'approssimazione di Laplace può essere generalizzata agli integrali nella forma

${\displaystyle \int _{a}^{b}h(x)e^{Mg(x)}\,dx\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{M|g''(x_{0})|}}}h(x_{0})e^{Mg(x_{0})},\qquad {\text{con }}M\to +\infty ,}$

dove ${\displaystyle h}$ è positiva. È importante sottolineare che la precisione dell'approssimazione dipende dalla variabile di integrazione.^[1]

Nel caso a più variabili, dove ${\displaystyle \mathbf {x} }$ è un vettore ${\displaystyle n}$-dimensionale e ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ è una funzione scalare di ${\displaystyle \mathbf {x} }$, l'approssimazione di Laplace diventa:

${\displaystyle \int e^{Mf(\mathbf {x} )}\,d\mathbf {x} \approx \left({\frac {2\pi }{M}}\right)^{n/2}|-H(f)(\mathbf {x} _{0})|^{-1/2}e^{Mf(\mathbf {x} _{0})},\qquad {\text{con }}M\to +\infty ,}$

con ${\displaystyle H(f)(\mathbf {x} _{0})}$ la matrice hessiana di ${\displaystyle f}$ calcolata in ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ e dove ${\displaystyle |\cdot |}$ indica il determinante. Analogamente al caso di una variabile, la matrice hessiana deve essere definita negativa.^[2]

Prima di tutto, si ponga senza perdita di generalità che il massimo globale si trovi in ${\displaystyle x_{0}=0}$. Perciò, quello che si vuole è l'errore relativo ${\displaystyle \left|R\right|}$ come mostrato sotto

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!h(x)e^{Mg(x)}\,dx=h(0)e^{Mg(0)}s\underbrace {\int _{a/s}^{b/s}{\frac {h(x)}{h(0)}}e^{M\left[g(sy)-g(0)\right]}dy} _{1+R},}$

dove ${\displaystyle s\equiv {\sqrt {\frac {2\pi }{M\left|g''(0)\right|}}}}$. Quindi, posto ${\displaystyle A\equiv {\frac {h(sy)}{h(0)}}e^{M\left[g(sy)-g(0)\right]}}$ e ${\displaystyle A_{0}\equiv e^{-\pi y^{2}}}$, si ottiene

${\displaystyle \left|R\right|=\left|\int _{a/s}^{b/s}A\,dy-\int _{-\infty }^{\infty }A_{0}\,dy\right|}$

poiché ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }A_{0}\,dy=1}$. Ora si deve trovare un maggiorante.

Grazie a ${\displaystyle \left|A+B\right|\leq |A|+|B|}$, si può separare l'integrazione in 5 parti di 3 differenti tipi: ${\displaystyle (a)}$, ${\displaystyle (b)}$ e ${\displaystyle (c)}$, rispettivamente. Pertanto,

${\displaystyle |R|<\underbrace {\left|\int _{D_{y}}^{\infty }A_{0}dy\right|} _{(a_{1})}+\underbrace {\left|\int _{D_{y}}^{b/s}Ady\right|} _{(b_{1})}+\underbrace {\left|\int _{-D_{y}}^{D_{y}}\left(A-A_{0}\right)dy\right|} _{(c)}+\underbrace {\left|\int _{a/s}^{-D_{y}}Ady\right|} _{(b_{2})}+\underbrace {\left|\int _{-\infty }^{-D_{y}}A_{0}dy\right|} _{(a_{2})},}$

dove ${\displaystyle (a_{1})}$ e ${\displaystyle (a_{2})}$ sono simili, quindi si calcolerà solo ${\displaystyle (a_{1})}$, e analogamente per ${\displaystyle (b_{1})}$ e ${\displaystyle (b_{2})}$.

Per ${\displaystyle (a_{1})}$, dopo aver rinominato ${\displaystyle z\equiv \pi y^{2}}$, si ha

${\displaystyle (a_{1})=\left|{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{\pi D_{y}^{2}}^{\infty }e^{-z}z^{-1/2}dz\right|<{\frac {e^{-\pi D_{y}^{2}}}{2\pi D_{y}}}.}$

Questo significa che fintanto che ${\displaystyle D_{y}}$ è abbastanza grande, esso tenderà a zero.

Per ${\displaystyle (b_{1})}$, si ricava

${\displaystyle (b_{1})\leq \left|\int _{D_{y}}^{b/s}\left[{\frac {h(sy)}{h(0)}}\right]_{\mathrm {max} }e^{Mm(sy)}dy\right|,}$

dove

${\displaystyle m(x)\geq g(x)-g(0),\qquad {\text{con }}x\in [sD_{y},b]}$

e ${\displaystyle h(x)}$ dovrebbe avere lo stesso segno di ${\displaystyle h(0)}$ nella regione. Si scelga ${\displaystyle m(x)}$ come la tangente in ${\displaystyle x=sD_{y}}$, cioè ${\displaystyle m(sy)=g(sD_{y})-g(0)+g'(sD_{y})\left(sy-sD_{y}\right)}$ (che è mostrata in figura).

Dalla figura si può osservare che quando ${\displaystyle s}$ o ${\displaystyle D_{y}}$ diventa piccolo, la regione che soddisfa la precedente disuguaglianza diventa sempre più grande. Dunque, se si vuole trovare una ${\displaystyle m(x)}$ adatta a coprire l'intera ${\displaystyle f(x)}$ nell'intervallo di ${\displaystyle (b_{1})}$, ${\displaystyle D_{y}}$ deve avere un estremo superiore. Inoltre, siccome l'integrale ${\displaystyle e^{-\alpha x}}$ è semplice, si userà per stimare l'errore relativo dovuto a ${\displaystyle (b_{1})}$.

Usando lo sviluppo di Taylor, si ottiene

${\displaystyle M\left[g(sD_{y})-g(0)\right]=M\left[{\frac {g''(0)}{2}}s^{2}D_{y}^{2}+{\frac {g'''(\xi )}{6}}s^{3}D_{y}^{3}\right]\,\,{\text{con}}\,\,\xi \in [0,sD_{y}]=-\pi D_{y}^{2}+{\frac {(2\pi )^{3/2}g'''(\xi )D_{y}^{3}}{6{\sqrt {M}}|g''(0)|^{3/2}}},}$

e

${\displaystyle Msg'(sD_{y})=Ms\left(g''(0)sD_{y}+{\frac {g'''(\zeta )}{2}}s^{2}D_{y}^{2}\right),\qquad {\text{con }}\zeta \in [0,sD_{y}]=-2\pi D_{y}+{\sqrt {\frac {2}{M}}}\left({\frac {\pi }{|g''(0)|}}\right)^{3/2}g'''(\zeta )D_{y}^{2},}$

e si sostituisce nel calcolo di ${\displaystyle (b_{1})}$. Tuttavia, si trova che i resti dei due sviluppi sono entrambi inversamente proporzionali alla radice di ${\displaystyle M}$, perciò si tralasceranno per rendere più elegante il calcolo.

${\displaystyle (b_{1})\leq \left|\left[{\frac {h(sy)}{h(0)}}\right]_{\text{max}}e^{-\pi D_{y}^{2}}\int _{0}^{b/s-D_{y}}e^{-2\pi D_{y}y}dy\right|\leq \left|\left[{\frac {h(sy)}{h(0)}}\right]_{\text{max}}e^{-\pi D_{y}^{2}}{\frac {1}{2\pi D_{y}}}\right|.}$

In aggiunta, tenderà a zero quando ${\displaystyle D_{y}}$ diventa arbitrariamente grande, ma non si dimentichi che il limite superiore di ${\displaystyle D_{y}}$ deve essere considerato nel calcolo.

A proposito dell'integrazione vicino a ${\displaystyle x=0}$, si può usare anche il teorema di Taylor per calcolarlo. Quando ${\displaystyle h'(0)\neq 0}$

${\displaystyle (c)\leq \int _{-D_{y}}^{D_{y}}e^{-\pi y^{2}}\left|{\frac {sh'(\xi )}{h(0)}}y\right|\,dy<{\sqrt {\frac {2}{\pi M|g''(0)|}}}\left|{\frac {h'(\xi )}{h(0)}}\right|_{\text{max}}\left(1-e^{-\pi D_{y}^{2}}\right)}$

e si trova che è inversamente proporzionale a ${\displaystyle {\sqrt {M}}}$. Infatti, ${\displaystyle (c)}$ avrà lo stesso comportamento quando ${\displaystyle h(x)}$ è costante.

Infine, l'integrazione vicino al punto stazionario diventa piccola quando ${\displaystyle {\sqrt {M}}}$ diventa grande, e le parti rimanenti tenderanno a zero fintanto che ${\displaystyle D_{y}}$ è abbastanza grande, ma quest'ultimo ha un estremo superiore dovuto alla condizione che la funzione ${\displaystyle m(x)}$ è sempre maggiore di ${\displaystyle g(x)-g(0)}$ nella regione rimanente. Tuttavia, fino a che si trova un ${\displaystyle m(x)}$ che soddisfa la condizione, l'estremo superiore di ${\displaystyle D_{y}}$ può essere scelto direttamente proporzionale a ${\displaystyle {\sqrt {M}}}$ poiché ${\displaystyle m(x)}$ è la tangente di ${\displaystyle g(x)-g(0)}$ in ${\displaystyle x=sD_{y}}$. Quindi, più grande è ${\displaystyle M}$, più può essere grande ${\displaystyle D_{y}}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Discesa del gradiente.

Un'estensione del metodo di Laplace all'analisi complessa, insieme alla formula integrale di Cauchy, è usata per trovare un contorno di "discesa più ripida" per un (asintoticamente per grandi ${\displaystyle M}$) integrale equivalente, espresso come un integrale di linea. In particolare, se non esistono punti sulla retta reale in cui la derivata di ${\displaystyle f}$ si annulla, può essere necessario deformare in contorno di integrazione in uno ottimale, dove l'analisi discussa prima è possibile. Ancora l'idea principale è di ridurre, almeno in modo asintotico, il calcolo del dato integrale a uno più semplice e che quindi può essere valutato esplicitamente. Si veda il libro di Erdelyi (1956) per una semplice discussione (dove il metodo è chiamato "discesa del gradiente")

L'appropriata formulazione per il piano complesso è

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!e^{Mf(z)}\,dz\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{-Mf''(z_{0})}}}e^{Mf(z_{0})},\qquad {\text{con }}M\to +\infty .}$

per un percorso passante attraverso il punto di sella in ${\displaystyle z_{0}}$. Da notare l'esplicita presenza di un segno meno ad indicare la direzione della derivata seconda: non se ne può prendere il modulo. Inoltre se la funzione integranda è meromorfa, si può dover aggiungere i residui corrispondenti ai poli attraversati durante la deformazione del contorno (vedere per esempio la sezione 3 dell'artico di Okounkov "Symmetric functions and random partitions").

• A. Azevedo-Filho e R. Shachter, Laplace's Method Approximations for Probabilistic Inference in Belief Networks with Continuous Variables, in Mantaras R. (a cura di), Uncertainty in Artificial Intelligence, San Francisco, CA, Morgan Kaufmann, 1994.
• P. Deift e X. Zhou, A steepest descent method for oscillatory Riemann–Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation, in Ann. of Math., vol. 137, n. 2, 1993, pp. 295–368, DOI:10.2307/2946540.
• A. Erdelyi, Asymptotic Expansions, Dover, 1956.
• A. Fog, Calculation Methods for Wallenius' Noncentral Hypergeometric Distribution, in Communications in Statistics, Simulation and Computation, vol. 37, n. 2, 2008, pp. 258–273, DOI:10.1080/03610910701790269.
• S. Kamvissis, K. T.-R. McLaughlin e P. Miller, Semiclassical Soliton Ensembles for the Focusing Nonlinear Schrödinger Equation, in Annals of Mathematics Studies, vol. 154, Princeton University Press, 2003.
• Laplace, P. S. (1774). Memoir on the probability of causes of events. Mémoires de Mathématique et de Physique, Tome Sixième. (English translation by S. M. Stigler 1986. Statist. Sci., 1(19):364–378).
• Xiang-Sheng Wang e Roderick Wong, Discrete analogues of Laplace's approximation, in Asymptot. Anal., vol. 54, n. 3-4, 2007, pp. 165–180.

• Approssimazione di Stirling
• Integrale di Gauss
• Discesa del gradiente
• Teorema di Taylor

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