Funzione di ripartizione empirica

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In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione empirica (o funzione cumulativa empirica o ECDF) è una funzione di variabile reale che rappresenta la funzione di ripartizione della misura empirica di un campione. La funzione di ripartizione empirica è una stima della vera funzione di ripartizione che ha generato il campione e grazie al teorema di Glivenko-Cantelli è possibile affermare che essa converge per ${\displaystyle n\to \infty }$ con probabilità 1 alla distribuzione del campione^[1].

Siano ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ ${\displaystyle n}$ variabili indipendenti e identicamente distribuite con la stessa funzione di ripartizione ${\displaystyle F(x)}$. Allora, la funzione di ripartizione empirica può essere scritta come^[2][3]:

${\displaystyle F_{n}(x)={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}I_{[-\infty ,x]}(X_{i})}$

dove ${\displaystyle I_{[-\infty ,x]}(X_{i})}$ è la funzione indicatrice, uguale a 1 se ${\displaystyle X_{i}\leq x}$ e uguale a 0 altrimenti. È possibile equivalentemente scriverla nella sua forma estesa come^[4]:

${\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0&x<X_{(1)}\\{\frac {k}{n}}&X_{(k)}<x<X_{(k+1)}\quad \forall k=1,2,...,n-1\\1&x>X_{(n)}\end{cases}}}$

Da cui segue che

${\displaystyle nF_{n}(x)\sim {\text{Bin}}(n,F(x)).}$

La funzione di ripartizione empirica è uno stimatore corretto e consistente della funzione di ripartizione.

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