Teorema della traccia

Il teorema della traccia è un importante risultato di analisi funzionale che permette di definire il restringimento ad un dominio una funzione definita quasi ovunque, per la quale quindi, essendo i bordi del dominio di misura di Lebesgue nulla, non sarebbe è possibile farlo nella maniera classica.

Tale restringimento permette quindi di estendere teoremi che legano i valori di una funzione ai suoi valori sul bordo del dominio di definizione, come ad esempio il teorema di Green-Gauss. Inoltre tale teorema ci permette di formulare una definizione alternativa degli spazi di Sobolev ${\displaystyle W_{0}^{m,p}}$.

Il teorema di seguito riportato chiede per il dominio ${\displaystyle \Omega }$ condizioni più stringenti di regolarità rispetto a quelle strettamente necessarie. Infatti, le condizioni minime sono quelle per l'esistenza di soluzioni delle equazioni di Dirichlet non omogenee.

Sia ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ un aperto e limitato e sia ${\displaystyle u\in H^{m}(\Omega )}$, dove abbiamo indicato con ${\displaystyle H^{m}(\Omega )}$ lo spazio di Sobolev ${\displaystyle W^{m,2}(\Omega )}$. Un operatore lineare continuo ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{0},\ldots ,\gamma _{m})\colon H^{m}(\Omega )\to \left(L^{2}(\partial \Omega )\right)}$ si dice operatore di traccia se per ogni ${\displaystyle u\in H^{m}(\Omega )\cap C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ risulta ${\displaystyle \gamma _{0}(u)=u\vert _{\partial \Omega }}$, ${\displaystyle \gamma _{i}(u)={\frac {\partial ^{i}u}{\partial \nu ^{i}}}\vert _{\partial \Omega }}$, per ogni ${\displaystyle i=1,\ldots ,m-1}$, dove ${\displaystyle \nu }$ indica la normale esterna al bordo di ${\displaystyle \Omega }$.^[1]

Sia ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ aperto limitato di classe ${\displaystyle C^{m+1}}$, allora esiste un operatore traccia ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{0},\ldots ,\gamma _{m})\colon H^{m}(\Omega )\to \left(L^{2}(\partial \Omega )\right)}$ tale che

• se ${\displaystyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$, allora ${\displaystyle \gamma _{0}(u)=u\vert _{\partial \Omega }}$, ${\displaystyle \gamma _{i}(u)={\frac {\partial ^{i}u}{\partial \nu ^{i}}}\vert _{\partial \Omega }}$, per ogni ${\displaystyle i=1,\ldots ,m-1}$, dove ${\displaystyle \nu }$ indica la normale esterna al bordo di ${\displaystyle \Omega }$;
• l'immagine di ${\displaystyle \gamma }$ è un sottospazio di ${\displaystyle \left(L^{2}(\partial \Omega )\right)^{m}}$, più precisamente è ${\displaystyle \prod _{j=0}^{m-1}H^{m-j-{\frac {1}{2}}}(\partial \Omega )}$;
• il nucleo di ${\displaystyle \gamma }$ è lo spazio di Hilbert ${\displaystyle H_{0}^{m}(\Omega )}$.^[2]

La traccia permettere di estendere il teorema di Green-Gauss a funzioni definite su spazi di Sobolev.

Sia ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ aperto limitato di classe ${\displaystyle C^{1}}$. Siano ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$. Allora, per ogni ${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x){\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}(x)dx=-\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}(x)v(x)dx+\int _{\partial \Omega }\gamma _{0}(u)(x)\gamma _{0}(v)(x)\nu _{i}(x)d\sigma (x),}$

dove ${\displaystyle \nu _{i}(x)}$ indica l'${\displaystyle i}$-esima componente del versore normale uscente dal bordo di ${\displaystyle \Omega }$ in ${\displaystyle x}$.^[3]

• Kesavan, S. Functional analysis and applications. Wiley, 1988.

• Spazio di Sobolev
• Equazioni ellittiche
• teorema di Green
• Teorema degli amici e degli sconosciuti
• Teorema di Josefson-Nissenzweig
• Teorema di Monsky