Serie di Mercator

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In matematica, per serie di Mercator o serie di Newton-Mercator si intende la serie di Taylor della funzione logaritmo naturale.

Essa è data dalla formula

,

espressione valida per .

Questa serie fu scoperta indipendentemente da Isaac Newton, Nicolaus Mercator e Gregorio di San Vincenzo.

Fu pubblicata per la prima volta nel 1668 nel trattato Logarithmo-technica di Nicolaus Mercator.

La serie può essere ricavata differenziando ripetutamente la funzione logaritmo naturale iniziando con

In alternativa, si può partire con l'uguaglianza (la serie geometrica):

la quale fornisce, in ragione e per :

Integriamo i membri da a :

e svolgiamo questi integrali: il primo vale immediatamente

per il secondo, dato che la serie converge uniformemente per , possiamo integrare termine a termine:

Quindi abbiamo ottenuto:

Caso particolare

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Ponendo , la serie di Mercator si riduce alla cosiddetta serie armonica a segni alterni

Si verifica infatti che la serie

converge uniformemente anche nel punto (per il criterio di Leibniz), e pertanto, essendo somma di funzioni continue in quel punto (polinomi), è ivi continua. Allora la serie e la funzione ammettono lo stesso limite per , cioè:

Questa si può considerare anche caso particolare relativo a della funzione eta di Dirichlet .

Collegamenti esterni

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  • (EN) Eric W. Weisstein, Serie di Mercator, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (SV) Eriksson, Larsson, Wahde (2002): Matematisk analys med tillämpningar, part 3, Göteborg, p. 10.
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