La geometria del compasso

La geometria del compasso
Frontespizio della prima edizione
Autore	Lorenzo Mascheroni
1ª ed. originale	1797
Genere	trattato
Sottogenere	geometria
Lingua originale	italiano
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La geometria del compasso è un trattato di Lorenzo Mascheroni, pubblicato a Pavia nel 1797. Tratta delle costruzioni geometriche da realizzarsi con il solo uso del compasso, escludendo l'altro strumento della geometria classica, ovvero la riga. L'insieme delle dimostrazioni contenute in quest'opera prova il seguente teorema:

« Ogni problema risolvibile con riga e compasso è risolvibile anche con il solo compasso »

I risultati di Mascheroni erano stati preceduti dal danese Jørgen Mohr, che li aveva esposti nel libro Euclides Danicus del 1672. Tale opera, pubblicata solo in danese e olandese, rimase per lo più sconosciuta. Riscoperta per caso in una libreria di Copenaghen nel 1928, fu subito ristampata in facsimile e poi tradotta in altre lingue. L'enunciato sopra riportato viene oggi chiamato quindi con il nome di Teorema di Mohr-Mascheroni.

Nella scrittura di questa opera, Mascheroni si fa guidare da considerazioni teoriche: ha ben presente che dai tempi della geometria classica, descritta negli Elementi di Euclide, sono stati aggiunti dai matematici molti argomenti, come le coniche, le curve di grado superiore al secondo, ecc.. Viceversa, nella prefazione al suo libro si domanda:

« Non potresti tu ritrocedere dagli Elementi, come da una linea di demarcazione, e cercar qualche cosa rimasta addietro a guisa di trascurata? È egli vero che i problemi elementari d'Euclide siano della più semplice costruzione? O non si potrebbe l'elemento matematico risolvere ne' suoi elementi fondamentali riga e compasso, a guisa di chi ha separata l'acqua in due arie^[1], e qualche aria pure stimata semplice, in due sostanze? A questo punto m'avvidi, che non potendosi far uso della riga sola se non per condurre una retta; si poteva però forse far uso del solo compasso non solo per descrivere solamente un cerchio, o un arco di esso; ma descrivendone più con più centri, e con diverse aperture, trovare per via delle loro sezioni mutue più punti, che fossero utili, e appunto i cercati di posizione di qualche problema. »

Il secondo scopo che si prefigge Mascheroni nel pubblicare La geometria del compasso è rendere più facile e precisa la costruzione di apparecchiature di precisione, come i quadranti degli strumenti astronomici. Come spiega egli stesso, sempre nella prefazione al suo libro:

« Per accennare i vantaggi, che ha il compasso sopra la riga, qualora si tratti di una descrizione precisa di linee, che non debbano temere l'esame del microscopio, basta avvertire, che trattandosi specialmente d'una riga alquanto lunga, è quasi impossibile ch'ella sia così diritta, che ne garantisca per tutto il suo tratto della posizione a luogo de' punti, che in essa sono. E sia pur essa rettissima. Sanno i pratici, che il dovere strisciare lungo essa colla punta che segna, porta seco una incertezza di parallelismo nel moto dell'asse di questa punta, o di perfetto adattamento allo spigolo, che rende spesso inutile la sua massima precisione. A queste due difficoltà non va soggetto il compasso. Qualora esso sia fermo nell'apertura, e finissimo nelle punte; centratane una immobilmente, il che non è difficile, l'altra scorrendo segna da sé un arco così preciso ed esatto, che nulla più. »

In tutte le sue costruzioni geometriche, Mascheroni sceglie quindi di determinare i punti necessari usando, fra riga e compasso, solo quello strumento che garantisce la maggiore precisione possibile: i punti saranno sempre ottenuti come intersezioni fra archi di cerchio tracciati con il compasso. I tratti rettilinei necessari al completamento del disegno dovranno ovviamente essere tracciati con una riga; ma non avendo tali segmenti alcun ruolo nella determinazione dei punti, una mancanza di precisione nel loro disegno non si ripercuoterà sull'intera costruzione.

Nei suoi Elementi, Euclide non parla mai né di riga né di compasso. Egli si riferisce solo a linee rette e circonferenze ideali, che traccia secondo i seguenti postulati:

1. È possibile tracciare un segmento rettilineo fra qualunque coppia di punti ^[2]
2. Un segmento rettilineo può essere esteso indefinitamente in una linea retta ^[3]
3. È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio ^[4]

Nella pratica è cosa ovvia associare una riga (non graduata) ai primi due postulati, e il compasso al terzo. Bisogna fare attenzione però al fatto che non tutto ciò che può essere fatto con un compasso è "autorizzato" dal terzo postulato. Secondo quest'ultimo, il compasso dovrebbe essere utilizzato solo per tracciare un cerchio dati il centro e un punto sulla sua circonferenza; non dovrebbe invece essere utilizzato per trasportare una distanza da una parte all'altra del piano, semplicemente aprendolo e spostandolo conservandone l'apertura.

Negli Elementi di Euclide il trasporto delle distanze è una necessità irrinunciabile, infatti a questo problema sono dedicate le prime due Proposizioni del Libro I^[5][6] (vedi l'animazione in figura 1). Euclide dimostra cioè che si può applicare la distanza AB al punto C:

• congiungendo punti dati con segmenti rettilinei (primo postulato, linee di colore blu);
• prolungando gli stessi segmenti (secondo postulato, linee di colore ciano);
• tracciando archi di cerchio dati il centro e un punto della circonferenza (terzo postulato, linee di colore verde).

Alla fine dell'animazione, tutti i punti appartenenti alla circonferenza rossa disteranno da C quanto B dista da A.

L'uso comune, di trasportare distanze mantenendo invariata l'apertura del compasso a cavallo di un suo spostamento, è quindi una scorciatoia ammessa in geometria, ma solo perché si sa che tale procedimento è la semplificazione di un metodo più rigoroso: proprio quello descritto da Euclide.

A differenza di Euclide, Mascheroni non ha uno scopo teorico, bensì pratico. Per trasportare le distanze non applica il metodo descritto da Euclide, per due motivi:

• esso richiede l'uso della riga, che Mascheroni vuole evitare;
• la quantità di passaggi necessari è tale da moltiplicare gli errori, invece di minimizzarli.

Mascheroni si sente quindi libero di usare il compasso per trasportare distanze, ma non solo: incoraggia la realizzazione di vari compassi ad apertura fissa^[7]. Ad esempio, dovendo inscrivere in una circonferenza un qualche poligono regolare, suggerisce di costruirne quattro con le seguenti aperture prefissate:

• un primo compasso con apertura pari al raggio della circonferenza (coincidente con il lato dell'esagono regolare ivi inscritto);
• un compasso di apertura proporzionale al primo, in ragione del fattore ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (lato del quadrato inscritto nella circonferenza);
• un compasso di apertura proporzionale al primo, in ragione del fattore ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ (lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza);
• un compasso di apertura proporzionale al primo, in ragione del fattore ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$ (lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza).

Le prime costruzioni affrontate da Mascheroni ne La geometria del compasso prevedono la divisione del cerchio in 240 parti uguali (nei paragrafi che seguono verranno mostrate solo le costruzioni principali), utilizzando il minor numero possibile di aperture del compasso, e il minor numero di punti non appartenenti alla circonferenza data.

Le costruzioni usano varie volte le Proposizioni di Euclide^[8][9] secondo cui, in cerchi uguali, archi uguali insistono su corde uguali, e viceversa. La divisione della circonferenza in parti uguali coincide quindi con il problema di inscrivervi poligoni regolari dello stesso numero di lati.

Volendo costruire i compassi ad apertura fissa suggeriti da Mascheroni, il primo dovrà avere ampiezza pari al raggio del cerchio da suddividere, ovvero quello in cui inscrivere i vari poligoni regolari.

Dato un cerchio di centro O e raggio OA (vedi figura 3), per inscrivere nello stesso cerchio un Esagono regolare seguendo il metodo di Euclide^[10] bisogna:

• tracciare l'arco BOF con centro in A e raggio AO, che interseca la circonferenza nei punti B ed F (questi punti, assieme ad A, sono i primi tre vertici dell'esagono);
• prolungare i segmenti BO, AO ed FO fino ad incontrare la circonferenza rispettivamente in E, D, C: sono ABCDEF i vertici dell'esagono regolare inscritto nella circonferenza.

Mascheroni non può fare uso della riga, quindi descrive un metodo alternativo:

• tracciare l'arco BOF con centro in A e raggio AO, come indicato da Euclide;
• tracciare altri tre archi di raggio AO: il primo con centro in B e tale da intersecare la circonferenza in C; il secondo con centro in C per determinare D; il terzo in D per determinare E.

Infatti:

• tutti i triangoli che hanno un vertice nel centro O del cerchio sono equilateri;
• i loro angoli in O sottendono archi di lunghezza pari a un sesto della circonferenza.

(Si ricorda che lo scopo di Mascheroni è determinare i vertici dell'esagono, non di tracciarne i lati. Nel disegno infatti tutti i segmenti rettilinei, a parte il raggio OA, sono tratteggiati; e il punto S, che con l'uso del solo compasso non è stato effettivamente determinato, è indicato solo allo scopo di agevolare la comprensione di quanto segue).

Con questa costruzione si ottengono alcuni risultati aggiuntivi, che verranno sfruttati in molte delle costruzioni che seguono:

• il punto D è allineato al segmento OA, per cui DA è doppio di OA: questo è il sistema usato da Mascheroni per raddoppiare la lunghezza di un segmento senza fare uso della riga (iterando lo stesso sistema, un segmento potrà essere anche triplicato, quadruplicato, ecc.);
• il punto D è la seconda estremità del diametro DA del cerchio centrato in O e di raggio OA;
• le terne di punti ACE e BDF definiscono i vertici di due triangoli equilateri inscritti nello stesso cerchio;
• il segmento BF è doppio rispetto all'altezza BS del triangolo equilatero OBA, quindi vale la proporzione: ${\displaystyle {\overline {BF}}:{\overline {OA}}={\sqrt {3}}:1}$

Volendo costruire i compassi ad apertura fissa suggeriti da Mascheroni, quello di ampiezza pari a ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ volte la lunghezza del raggio dovrà essere calibrato sulla distanza fra i punti B ed F, oppure A e C, oppure qualsiasi altra diagonale dell'esagono non passante per il centro del cerchio.

Per costruire il quadrato inscritto in un cerchio dato, Euclide^[11] suggerisce semplicemente di tracciare due diametri ortogonali. Questo sistema viene modificato da Mascheroni (vedi figura 4) come segue:

• determinare i punti A, B, C e D come descritto al paragrafo precedente: A e D sono i due primi vertici del quadrato;
• con raggio AC e centro in A e D tracciare i due archi CG e BG che si intersecano in G (il segmento AC, come visto al paragrafo precedente, è ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ volte il raggio della circonferenza);
• con raggio OG e centro in A tracciare un arco che interseca la circonferenza data nei punti H e J: i punti AHDJ sono i vertici del quadrato inscritto nella circonferenza data.

Infatti:

• per costruzione, il triangolo DGA è isoscele, e il segmento GO ne è la mediana relativa alla base; ma in un triangolo isoscele, la mediana e l'altezza relative alla base coincidono, quindi l'angolo GÔA è retto, e il triangolo GOA è rettangolo in O;
• ammettendo, senza perdita di generalità, che il raggio del cerchio sia unitario, si può applicare il teorema di Pitagora all'ipotenusa AG e al cateto OA, ricavando la lunghezza del secondo cateto:

${\displaystyle {\overline {GO}}={\sqrt {{\overline {AG}}\,^{2}-{\overline {OA}}\,^{2}}}={\sqrt {3-1}}={\sqrt {2}}}$

• il segmento OG è quindi lungo ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ volte il raggio del cerchio, proprio la lunghezza del lato del quadrato che si vuole inscrivere nella circonferenza. La determinazione dei due punti mancanti del quadrato richiede quindi solo di riportare tale lunghezza sulla circonferenza, a partire da A (oppure da D).

Volendo costruire i compassi ad apertura fissa suggeriti da Mascheroni, quello di ampiezza pari a ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ volte la lunghezza del raggio dovrà essere calibrato sulla distanza fra i punti O ed G.

La costruzione dell'ottagono regolare richiede la determinazione di quattro punti intermedi agli archi che insistono su un quadrato già tracciato. In figura 5 sono indicati (vedi le costruzioni precedenti):

• i punti A e D, appartenenti al diametro della circonferenza;
• i punti G, H, O e J appartenenti alla retta ortogonale al diametro suddetto, passante per il centro O della circonferenza;
• i punti A, H, D e J, vertici del quadrato precedentemente tracciato.

Per determinare i punti mancanti alla costruzione dell'ottagono regolare inscritto nella stessa circonferenza, secondo Mascheroni occorre:

• con centro in G, e raggio OA (lo stesso della circonferenza), tracciare l'arco che interseca la circonferenza nei punti L e K;
• con centro in K ed L, e raggio LK, tracciare gli archi che intersecano la circonferenza rispettivamente nei punti N ed M: saranno AKHLDMJN i vertici dell'ottagono regolare cercato.

Infatti:

• i segmenti GK e KO hanno lunghezza pari al raggio della circonferenza, quindi il triangolo GKO è isoscele;
• il segmento GO è lungo ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ volte il raggio, quindi è ipotenusa dello stesso triangolo GKO, che è rettangolo in K^[12];
• essendo il triangolo GKO rettangolo e isoscele, i suoi angoli in G e in O sono semiretti;
• il segmento OK divide in due metà il quadrante HÔA, quindi il punto K è vertice dell'ottagono regolare (ragionamento analogo vale per il punto L).

I punti M ed N necessari a completare l'ottagono possono essere determinati in vari modi:

• tracciando due archi di raggio AK e centrati in A e D (questo sistema non è utilizzato da Mascheroni, perché richiede un compasso di apertura non standard, diversa cioè da quelli fin qui utilizzati);
• costruendo un punto G' speculare di G rispetto al diametro AD (neanche questo sistema è utilizzato da Mascheroni, perché richiede un punto G' aggiuntivo, non appartenente alla circonferenza);
• il segmento LK è lato del quadrato LKMN inscritto nella circonferenza: è sufficiente riportare tale distanza sulla circonferenza a partire dai punti L e K per determinare gli ultimi due punti M ed N dell'ottagono regolare. Questo è il sistema suggerito da Mascheroni, che infatti ha i vantaggi di non necessitare di un punto aggiuntivo al di fuori della circonferenza, e di richiedere un compasso standard di apertura pari a ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ volte il raggio della circonferenza.

La figura 6 mostra tutti i punti individuati nelle costruzioni precedenti:

• ABCDEF, vertici dell'esagono regolare inscritto nella circonferenza con centro in O e raggio OA;
• AKHLDMJN, vertici dell'ottagono regolare inscritto nello stesso cerchio.

La dodicesima parte dell'angolo giro può essere ottenuta per differenza fra un angolo retto (un quarto di angolo giro) e l'angolo al centro che sottende un lato dell'esagono regolare (un sesto): infatti

${\displaystyle {\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}={\frac {1}{12}}}$

In figura 6 si può osservare come il quadrante DÔH sia composto dagli angoli DÔC (che sottende il lato dell'esagono regolare) più CÔH: quest'ultimo sottende quindi un arco di lunghezza pari al dodicesimo della circonferenza; di conseguenza H è un vertice del dodecagono regolare, intermedio ai vertici C e B (lo stesso ragionamento consente dimostrare che anche J è un vertice del dodecagono, intermedio fra E ed F).

Mancano da determinare i quattro punti P, Q, R ed S. Per determinare Q si potrebbe tracciare un arco con centro in C e raggio CH, tale da intersecare la circonferenza proprio nel punto Q (sistema analogo andrebbe usato per la determinazione degli altri tre punti). Questa procedura comporta però due svantaggi:

• sarebbe necessario tracciare 4 archi distinti;
• il compasso necessario a tracciare questi archi avrebbe apertura diversa da quella dei tre compassi ad apertura fissa già indicati, di cui Mascheroni predilige l'impiego.

Per questi motivi, Mascheroni suggerisce di:

• tracciare un arco con centro in H e raggio HO (raggio della circonferenza), che interseca la circonferenza nei punti Q e P;
• tracciare un arco con centro in J e pari raggio per determinare i punti R ed S: saranno infine APBHCQDREJFS i vertici del dodecagono inscritto nella circonferenza.

Con questi archi infatti si sottrae, da ciascun quadrante, un angolo pari a un sesto di angolo giro, determinando archi il cui angolo al centro è un dodicesimo dello stesso.

La costruzione dell'icositetragono (poligono regolare di 24 lati) è la prosecuzione del procedimento descritto per il dodecagono (vedi figura 6): si tratta di determinare i punti di intersezione fra la circonferenza e gli archi di colore magenta.

L'angolo al centro che sottende l'arco BK è la differenza fra gli angolo BÔA (un sesto di angolo giro) e KÔA (un ottavo):

${\displaystyle {\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}={\frac {4-3}{24}}={\frac {1}{24}}}$

Si potrebbe quindi:

• con centro in B e raggio BK tracciare un arco che interseca la circonferenza nel punto T (vertice dell'icositetragono);
• con archi analoghi determinare i sette vertici mancanti.

Come per la costruzione del dodecagono, anche in questo caso Mascheroni suggerisce un metodo per il quale è richiesto l'uso di uno dei suoi compassi di apertura standard:

• tracciare quattro archi con centro nei punti K, L, M ed N, e raggio pari a quello della circonferenza;
• le intersezioni fra questi archi e la circonferenza determina gli 8 vertici mancanti dell'icositetragono.

Prendiamo infatti in considerazione il punto T. L'angolo TÔH, differenza fra gli angoli TÔL (che per costruzione è un sesto di angolo giro) e HÔL (un ottavo) è, per lo stesso calcolo mostrato più sopra, proprio un ventiquattresimo di angolo giro; quindi T (così come ognuno degli altri 7 vertici mancanti) è vertice dell'icositetragono inscritto nella circonferenza.

Prima di analizzare il metodo suggerito da Mascheroni per la costruzione del pentagono regolare inscritto in una circonferenza, è bene rivedere i metodi classici, dei quali il più noto è quello di Tolomeo^[13]. In figura 7 ne sono rappresentati, con linee di colore rosso, i passaggi principali:

• sia data la circonferenza di centro O e raggio OA, in cui sono tracciati il diametro DA e il raggio ortogonale OH;
• con raggio OA e centro in A tracciare l'arco BOF che interseca la circonferenza nei punti B ed F;
• l'intersezione del segmento BF con il raggio OA determina il punto S;
• con centro in S e raggio SH tracciare l'arco che interseca il diametro DA nel punto T;
• il lato del Pentagono ha lunghezza pari al segmento HT;
• con apertura HT, partendo da H, riportare in sequenza sulla circonferenza le distanze HV, VW, WX, XU: i punti HVWXU sono i vertici del pentagono regolare inscritto nella circonferenza.

La costruzione ora descritta richiede due intersezioni che interessano segmenti rettilinei (determinazione dei punti S e T), che Mascheroni non può ottenere non volendo utilizzare la riga. La sua costruzione, alternativa, è mostrata sempre in figura 7:

• siano già tracciati i punti A, B, D, F (vertici dell'esagono regolare inscritto alla circonferenza) e H (estremità del raggio ortogonale al diametro DA);
• con raggio pari ad AH (ovvero con il compasso di apertura ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ volte il raggio della circonferenza), puntando in B ed F tracciare due archi che si intersecano nel punto T;
• il punto T trovato da Mascheroni è lo stesso determinato da Tolomeo, quindi il disegno del pentagono regolare prosegue allo stesso modo.

La dimostrazione che il punto T nelle due costruzioni è nella stessa posizione è la seguente:

• il punto S è mediano rispetto al raggio OA (esso viene espressamente determinato in Tolomeo, mentre viene omesso nella costruzione di Mascheroni in quanto non necessario);
• nella costruzione di Tolomeo il punto T appartiene al diametro DA del cerchio. Questo accade anche nella costruzione di Mascheroni: per costruzione, il triangolo BTF è isoscele, e il segmento TS è la sua mediana rispetto alla base BF. Ma in un triangolo isoscele mediana e asse rispetto alla base coincidono; ed essendo il diametro AD asse della base BF, il punto T appartiene al diametro DA;
• rimane da dimostrare che la distanza fra i punti S e T è la stessa. In Tolomeo, il segmento ST = SH coincide con l'ipotenusa del triangolo rettangolo HOS, la cui lunghezza è (si consideri, senza perdita di generalità, una circonferenza di raggio unitario):

${\displaystyle {\overline {ST}}={\overline {SH}}={\sqrt {{\overline {HO}}\,^{2}+{\overline {OS}}\,^{2}}}={\sqrt {1^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}}$

• In Mascheroni invece il segmento ST è cateto del triangolo TBS rettangolo in S, la cui ipotenusa è lunga ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ mentre l'altro cateto è l'altezza del triangolo equilatero OBA; quindi:

${\displaystyle {\overline {ST}}={\sqrt {{\overline {BT}}\,^{2}-{\overline {BS}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\sqrt {2}}\right)^{2}-\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}}$

È così dimostrata l'equivalenza fra i metodi di Tolomeo e di Mascheroni.

Si faccia ancora riferimento alla figura 7, prendendo in esame il triangolo HOT. Esso è rettangolo in O, ed è formato dai seguenti lati:

• il cateto HO è il raggio della circonferenza, quindi è anche il lato dell'esagono regolare inscritto;
• l'ipotenusa HT è il lato del pentagono regolare inscritto nella stessa circonferenza;
• Euclide^[14] dimostra che l'altro cateto TO di questo triangolo rettangolo è lungo quanto il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza.

Con raggio TO e puntando il compasso nei vertici del pentagono si possono disegnare archi le cui intersezioni con la circonferenza definiscono i vertici del decagono regolare (per non appesantirla troppo, nella figura è mostrato solo l'arco YZ centrato in V: sono così visibili i primi quattro lati del decagono HY, YV, VZ e ZW).

Volendo costruire i compassi ad apertura fissa suggeriti da Mascheroni, quello di ampiezza pari a ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$ volte la lunghezza del raggio dovrà essere calibrato sulla distanza fra i punti O e T.

Mascheroni propone due modi diversi di dividere la circonferenza in 120 parti uguali. La prima, più ovvia, richiede di utilizzare la differenza fra gli angoli al centro che sottendono 5 lati consecutivi del 24-gono e il lato del pentagono. Infatti:

${\displaystyle {\frac {5}{24}}-{\frac {1}{5}}={\frac {25-24}{120}}={\frac {1}{120}}}$

Trovata la lunghezza dell'arco sotteso dalla centoventesima parte di circonferenza, è sufficiente riportare più volte tale distanza sulla circonferenza a partire dai vertici del 24-gono.

Mascheroni propone la seconda costruzione del 120-gono per dimostrare l'efficacia dei suoi metodi, e l'utilità dei compassi ad apertura fissa:

« Potrà chi voglia con soli quattro compassi [...] e con soli due punti presi fuori dalla circonferenza [...] dividere la circonferenza del cerchio in centoventi parti uguali. »

Ricapitolando (vedi figura 8) tutti i passaggi necessari alla costruzione del 24-gono regolare inscritto nella circonferenza:

• con il primo compasso (di apertura pari al raggio della circonferenza) si determinano i sei vertici dell'esagono regolare inscritto ABCDEF;
• puntando nei punti B e D il secondo compasso (di apertura ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ volte il raggio, pari alla distanza fra i punti A e C) si tracciano due archi che si intersecano nel punto G;
• puntando il primo compasso nel punto G si traccia l'arco che interseca la circonferenza nei punti L e K (due vertici dell'ottagono regolare inscritto);
• puntando il terzo compasso (di apertura ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ volte il raggio, pari alla distanza fra i punti O e G) nel punto A si traccia un arco che interseca la circonferenza nei punti H e J, che definiscono il diametro ortogonale a DA;
• con lo stesso compasso, puntato in K ed L, si determinano gli ultimi vertici M ed N dell'ottagono regolare AKHLDMJN;
• con il primo compasso, puntato in H, J, K, L, M ed N si determinano tutti i vertici mancanti del 24-gono regolare (in figura sono indicati solo P, Q ed R).

Rimangono da trovare i vertici intermedi del 120-gono, ovvero quelli non coincidenti con quelli del 24-gono. Per farlo, Mascheroni impiega il suo quarto compasso, la cui apertura viene così definita:

• puntando il terzo compasso (di apertura ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ volte il raggio) in B ed F, si tracciano due archi che si intersecano in T;
• il segmento TO, lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza (di lunghezza pari a ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}$ volte il raggio della circonferenza) determina proprio l'apertura di questo quarto compasso.

Di seguito vengono determinati i quattro vertici del 120-gono, intermedi all'arco AQ:

• con il quarto compasso puntato in R tracciare l'arco che interseca la circonferenza nel punto z; puntandolo poi in z determinare il punto u. L'angolo uÔA può essere calcolato come differenza fra RÔA (che sottende 5 lati del 24-gono) e RÔu (che sottende due lati del decagono):

${\displaystyle {\frac {5}{24}}-{\frac {2}{10}}={\frac {25-24}{120}}={\frac {1}{120}}}$

• con lo stesso compasso, ma puntando in P, tracciare l'arco che interseca la circonferenza determinando il punto v. L'angolo vÔA può essere calcolato come differenza fra l'angolo vÔP (che sottende un lato del decagono) e AÔP (che sottende due lati del 24-gono):

${\displaystyle {\frac {1}{10}}-{\frac {2}{24}}={\frac {12-10}{120}}={\frac {2}{120}}}$

• puntare poi lo stesso compasso in K per determinare w. Dato che l'angolo KÔA sottende 3 lati del 24-gono, l'angolo wÔA è:

${\displaystyle {\frac {3}{24}}-{\frac {1}{10}}={\frac {15-12}{120}}={\frac {3}{120}}}$

• infine puntare il compasso in F per determinare y; poi in y per determinare x. L'angolo xÔA può essere calcolato come differenza fra l'angolo xÔF (che sottende due lati del decagono) e AÔF (che sottende 4 lati del 24-gono):

${\displaystyle {\frac {2}{10}}-{\frac {2}{24}}={\frac {24-20}{120}}={\frac {4}{120}}}$

Per suddividere tutti gli altri archi del 24-gono bisognerebbe in teoria procedere allo stesso modo. Conviene piuttosto, con il solo uso del quarto compasso, tracciare 12 decagoni a partire da altrettanti vertici consecutivi del 24-gono.

Nelle geometria della riga e del compasso, la bisezione di un segmento^[15] o di un arco^[16] delimitati dai punti A e B (vedi figura 9) si ottiene:

• tracciando due archi di raggio AB con centri in A e B, i cui punti di intersezione determinando i punti C e D;
• unendo i punti C e D con un segmento rettilineo;
• i punti E ed F, di intersezione fra il segmento CD e il segmento o l'arco dati, ne rappresentano le rispettive bisezioni.

Volendo evitare l'uso della riga per tracciare il segmento CD, Mascheroni propone i metodi che vengono descritti di seguito.

Per determinare il punto mediano dell'arco AB con centro in O (vedi figura 10), Mascheroni suggerisce di:

• tracciare i due archi OC e OD, centrati in A e B, di raggio AO = BO;
• con raggio AB tracciare l'arco centrato on O, la cui intersezione con i due archi già tracciati determina i punti C e D;
• con raggio AD = BC, e con centri in C e D, tracciare due archi la cui intersezione determina il punto G;
• con raggio OG, e con centro di nuovo nei punti C e D, tracciare due archi la cui intersezione determina il punto F: esso è il punto mediano cercato dell'arco AB.

Come in tutte le costruzioni precedenti di questa pagina, nella figura sono mostrati gli archi (in questo caso: quello da bisecare, più i 7 necessari al procedimento di bisezione) come linee continue, mentre i segmenti rettilinei sono tratteggiati. Questi ultimi non sono infatti necessari alla costruzione, ma facilitano la comprensione della dimostrazione:

• i quadrilateri ABOC e ABDO sono per costruzione dei parallelogrammi, quindi hanno i lati CO e OD paralleli ad AB^[17]; avendo un estremo in comune, CO e OD giacciono quindi sulla stessa retta (parallela ad AB);
• i triangoli CFD e CGD sono per costruzione entrambi isosceli, e i segmenti FO e GO ne sono le mediane rispetto alla base comune CD. Nei triangoli isosceli, mediane e altezze rispetto alla base coincidono, quindi i punti F e G appartengono entrambi alla retta GFO perpendicolare a CD;
• ABO è un triangolo isoscele la cui base AB è parallela a CD, e la retta OF, perpendicolare ad AB, ne è l'altezza. Ma in un triangolo isoscele, l'altezza rispetto alla base e la bisettrice dell'angolo al vertice coincidono: di conseguenza gli angoli (al centro) AÔF e FÔB sono uguali, e sottendono le due metà in cui si vuole dividere l'arco dato.

È dimostrato quindi che il segmento GFO divide in due parti uguali l'arco dato. Rimane da dimostrare che il punto F si trova sull'arco AB, ovvero che la distanza OF è uguale ad OA (raggio dell'arco da dividere). Questo richiede i seguenti passaggi:

• sia H la proiezione di A su CO; essendo il triangolo CAO isoscele, il segmento OH è metà di OC = OD;
• in un triangolo ottusangolo il quadrato costruito sul lato più lungo è pari alla somma dei quadrati costruiti sui lati che costituiscono l'angolo ottuso più due volte il rettangolo compreso fra uno di questi lati e la proiezione dell'altro sul prolungamento del primo^[18]. Nel caso del triangolo AOD (l'angolo ottuso è in O) si ha:

${\displaystyle {\overline {AD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+{\overline {OD}}\,^{2}+2\cdot {\overline {OD}}\cdot {\overline {OH}}={\overline {OA}}\,^{2}+2\cdot {\overline {OD}}\,^{2}}$

• Il segmento DG = DA è l'ipotenusa del triangolo GOD, rettangolo in O; si può quindi applicare il Teorema di Pitagora per ricavare la lunghezza di OG:

${\displaystyle {\overline {OG}}\,^{2}={\overline {DG}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+2\cdot {\overline {OD}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+{\overline {OD}}\,^{2}}$

• Il segmento DF = OG è ipotenusa del triangolo FOD rettangolo in O; si può nuovamente applicare il Teorema di Pitagora per ricavare la lunghezza di OF:

${\displaystyle {\overline {OF}}\,^{2}={\overline {DF}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}+{\overline {OD}}\,^{2}-{\overline {OD}}\,^{2}={\overline {OA}}\,^{2}}$

Il punto F è sul segmento GO che divide in due l'arco AB di centro O; in più si ha che OF = OA, quindi il punto F appartiene all'arco AB di centro O: F è quindi proprio il punto cercato, che divide l'arco AB in due parti uguali.

Mascheroni raccomanda di lavorare sempre su archi di lunghezza appropriata:

• se l'arco da bisecare è troppo piccolo, è bene aggiungere alle sue estremità due archi dello stesso raggio, e di lunghezza uguale fra loro (ovvero, archi che abbiano corde della stessa lunghezza);
• se l'arco è troppo lungo, è bene decurtarlo di quantità eguali alle due estremità.

In entrambi i casi la bisezione dell'arco modificato, ingrandito o accorciato che sia, dà luogo anche alla bisezione dell'arco originale.

Il metodo suggerito da Mascheroni per determinare il punto mediano E del segmento OA (vedi figura 11) senza fare uso della riga è il seguente:

• tracciare l'arco FOG di raggio OA, centrato in A;
• tracciare l'arco ABCD di pari raggio, centrato in O: esso interseca l'arco precedente nel punto B;
• determinare il punto D, opposto ad A rispetto ad O, riportando due volte la distanza OA sull'arco ABCD, da B a C e da C a D;
• tracciare l'arco FAGH con centro in D e raggio DA (in realtà è sufficiente tracciare l'arco FAG - nel disegno l'arco è prolungato fino ad H per semplificare la comprensione della dimostrazione che segue);
• con centri in F e G, e apertura FA = GA, tracciare due archi la cui intersezione determina il punto E: è questo il punto cercato, mediano del segmento OA.

Si ammetta infatti di avere tracciato il punto H (non necessario nella costruzione già descritta) in modo che il segmento HA sia il diametro della circonferenza centrata in D, di raggio DA doppio rispetto ad OA: la distanza HA è quindi quadrupla di OA. Si ammetta anche di avere tracciato il punto L, proiezione di G sul segmento OA (neanche questo è necessario alla costruzione). Con questi elementi aggiunti alla costruzione di Mascheroni, si può verificare che:

• i triangoli HGA (rettangolo in G poiché è inscritto in una semicirconferenza^[19]) e GLA (rettangolo in L per costruzione) sono simili^[20] in quanto, oltre appunto ad essere rettangoli, hanno in comune l'angolo in A;
• per costruzione, GA è uguale ad OA, e HA è quattro volte OA; quindi OA : HA = 1 : 4;
• la stessa proporzione 1 : 4 si presenta fra i segmenti LA e GA = OA, quindi LA è la quarta parte del segmento dato OA;
• i triangoli GLA e GLE sono congruenti e rettangoli in L; quindi la distanza EA è doppia di LA;
• il punto E cade quindi sul segmento OA, ed è equidistante da O e da A.

Il metodo più semplice per riportare la distanza CD sul segmento AB (vedi figura 12) è:

• tracciare la circonferenza di raggio AR = CD puntando il compasso in A;
• l'intersezione di tale circonferenza con il segmento AB in E rappresenta il punto cercato.

È stato già sottolineato che per Euclide il trasporto delle distanze con il compasso non è ammesso (per svolgere il compito appena descritto infatti Euclide suggerisce il metodo mostrato alla figura 1). Per Mascheroni il trasporto delle distanze con il compasso è non solo ammesso, ma incoraggiato; tuttavia la sua Geometria del Compasso porta un problema diverso: a motivo dell'impossibilità di utilizzare la riga, del segmento AB sono noti gli solo estremi, non i punti intermedi. La circonferenza tracciata quindi non è di per sé sufficiente a definire il punto E, per cui bisogna completare il procedimento come segue:

• tracciare un arco GH con centro in B e raggio arbitrario (il raggio va scelto in modo da agevolare l'operazione che segue);
• dividere in due l'arco GEH con il metodo di bisezione descritto più sopra in questa stessa pagina: si determina così il punto E cercato.

È evidente infatti che il punto E è distante da A quanto lo è D da C; rimane da dimostrare che il punto E appartenga anche al segmento AB:

• gli angoli EÂG ed EÂH sono, per costruzione, uguali alla metà dell'angolo al centro GÂH che sottende l'arco GEH;
• i triangoli AGB e AHB sono congruenti, quindi sono uguali i loro angoli in A^[21];
• gli angoli GÂB e HÂB presi insieme formato lo stesso angolo al centro che sottende l'arco GEH;
• gli angoli GÂE e GÂB sono coincidenti, quindi il punto E si trova effettivamente sulla congiungente fra A e B.

Quando si debba togliere la lunghezza CD dal segmento AB dal lato dell'estremità A (il segmento differenza è EB, vedi figura 12) si usa lo stesso metodo appena descritto.

Dovendo aggiungere la lunghezza CD al segmento AB si potrebbe usare ancora lo stesso procedimento (vedi figura 12), bisecando però l'arco GFH invece del GEH. Questo arco è però poco adatto ad essere bisecato con il metodo di Mascheroni, quindi in questo caso conviene tracciare un diverso arco JK, sempre con centro in B, ma con raggio appropriato all'ottenimento appunto di un arco JFK più adatto allo scopo.

La costruzione di Euclide^[22] per proiettare il punto C sul segmento AB è la seguente (vedi figura 13):

• tracciare un arco con centro in C e raggio arbitrario, che tagli il segmento AB nei punti G ed H;
• determinare il punto O intermedio fra G ed H: la congiungente fra C ed O è perpendicolare ad AB.

Questo sistema non può essere adottato da Mascheroni, in quanto del segmento AB sono noti solo gli estremi. Egli suggerisce infatti di:

• tracciare l'arco CFD con centro in A e raggio AC;
• tracciare l'arco CED con centro in B e raggio BC, la cui intersezione con l'arco precedente determina il punto D;
• bisecare il segmento CD in O con metodo descritto in precedenza.

Per costruzione il quadrilatero ACBD è un aquilone, le cui diagonali si incrociano ortogonalmente e la AB divide in parti uguali la CD. Di conseguenza:

• il punto di intersezione fra le due diagonali coincide con il punto O trovato con il metodo di Mascheroni (mediano del segmento CD);
• i segmenti CO e AB son ortogonali: O è quindi il punto cercato.

Dato un segmento AB ed un punto C esterno ad esso, per trovare un punto D tale che il segmento CD sia parallelo ad AB è sufficiente costruire il parallelogramma mostrato in figura 14:

• con centro in C e raggio AB, e con centro in A e raggio BC, tracciare due archi che si intersecano nel punto D;
• D è il punto cercato.

Infatti:

• i triangoli ABC e DCA sono congruenti, quindi hanno uguali^[21] gli angoli BÂC e AĈD;
• il segmento CD è quindi parallelo ad AB^[23]

La geometria della riga e del compasso consente la determinazione dei punti secondo tre metodi:

1. Intersezione fra una circonferenza e un'altra circonferenza;
2. Intersezione fra una circonferenza e una retta;
3. Intersezione fra due rette.

La geometria del (solo) compasso rende disponibile il solo primo caso fra quelli elencati: gli altri richiedono costruzioni alternative, che vengono descritte di seguito.

Data una circonferenza di centro O e raggio OR (vedi figura 15) e un punto E non coincidente con il centro, per trovare i punti di intersezione fra la circonferenza e la retta passate per il centro e il punto dato occorre:

• con centro in E ed apertura appropriata tracciare l'arco GH;
• bisecando l'arco GAH si trova il primo punto cercato A;
• riportando tre volte il raggio della circonferenza sulla stessa (da A a B, da B a C e da C a D) si trova il secondo punto D cercato (il punto D potrebbe essere trovato bisecando l'arco GDH, ma la soluzione proposta è sicuramente più semplice).

Questa costruzione ripropone il metodo già descritto per applicare una distanza a un segmento (vedi figura 12): di fatto, per determinare il punto A è come se si applicasse la distanza OR (raggio della circonferenza) al segmento OE. Nota: il sistema sarebbe valido anche se il punto E fosse interno al cerchio (purché, come detto, non coincidente con il suo centro), dato che sarebbe sempre possibile tracciare un arco GH intersecante la circonferenza data in due punti.

Nella geometria della riga e del compasso, per trovare i punti di intersezione fra la circonferenza centrata in O e di raggio OA e un segmento i cui estremi si trovino in B e C (vedi figura 16) sarebbe sufficiente unire i punti C e B con un segmento, prolungandolo fino ad F. Nella Geometria del Compasso di Mascheroni occorre invece:

• con centro in B e raggio BO, e con centro in C e raggio CO, tracciare due archi la cui intersezione determina il punto D;
• con centro in D e raggio DE = OA tracciare la circonferenza EFG;
• i punti F e G di intersezione fra le due circonferenze sono i punti cercati.

Nota: se le due circonferenze non si intersecano fra loro significa che la retta BC non taglia la circonferenza originale; se si toccano in un solo punto, la retta BC ne è tangente.

È evidente che i punti F e G appartengono alla circonferenza originale. Occorre dimostrare che essi appartengono anche alla retta BC:

• per costruzione il quadrilatero BOCD è un aquilone, le cui diagonali si incrociano ortogonalmente e la BC divide in parti uguali la OD in H;
• il quadrilatero OGDF è un rombo (caso particolare di aquilone), le cui diagonali si incrociano ortogonalmente dividendosi in parti uguali in H;
• i punti B e C, ed F e G, appartengono a due segmenti entrambi ortogonali ad OD e passanti per il suo punto mediano H;
• i punti F e G appartengono quindi alla stessa retta del segmento dato BC.

Dati due segmenti definiti dai punti A e B, C e D (vedi figura 17), la determinazione del punto H della loro intersezione con il solo uso del compasso richiede i seguenti passaggi:

• con centro in A e raggio AC, e con centro in B e raggio BC, tracciare due archi che si intersecano nel punto E;
• con centro in A e raggio AD, e con centro in B e raggio BD, tracciare due archi che si intersecano nel punto F;
• tracciare due archi con centro in E e raggio CD, e con centro in D e raggio CE, che si intersecano nel punto G;
• per determinare il punto H occorre trovare il punto di intersezione fra due archi centrati in E ed C, con raggio EH = CH di lunghezza tale da rispettare la proporzione GF : FE = CE : EH (la ricerca di tale lunghezza è descritta nel prossimo paragrafo).

È semplice provare (quindi ometteremo i relativi dettagli) che:

• il segmento EF è simmetrico di CD rispetto al segmento AB;
• i segmenti CE e DF sono entrambi perpendicolari ad AB, quindi sono paralleli fra loro;
• il punto H cercato (intersezione fra AB e DC) è anche il punto di intersezione fra i segmenti CD ed EF.

Di conseguenza:

• avendo l'angolo H in comune, e le basi EC ed FD parallele, i triangoli EHC e FHD hanno gli angoli uguali, dunque sono simili^[20];
• essendo per costruzione i segmenti CE = DG, e CD = EG, il quadrilatero CEGD è un parallelogramma^[17], i segmenti HD ed EG sono paralleli;
• tagliati i due segmenti suddetti dalla trasversale HF, gli angoli FÊG e FĤD sono uguali^[23];
• avendo gli angoli suddetti uguali, e l'angolo in F in comune, anche i triangoli FEG e FHD sono simili;
• essendo, per la proprietà transitiva, simili fra loro i triangoli FEG ed EHC, vale appunto la proporzione GF : FE = CE : EH

Dati 3 segmenti AB, CD ed EF (vedi figura 18), per trovare un quarto segmento RS tale che AB : CD = EF : RS (procedimento necessario al completamento della determinazione del punto di intersezione di due segmenti, vedi punto precedente) occorre:

• con un centro arbitrario, tracciare due circonferenze di raggio OP = AB e OR = CD;
• scelto un punto arbitrario P sulla prima circonferenza, puntare il compasso con apertura EF in modo da determinare il punto Q sulla stessa;
• con apertura arbitraria tracciare due archi puntando il compasso in P e Q, in modo da determinare i punti R ed S sulla seconda circonferenza;
• il segmento RS avrà la lunghezza cercata.

Infatti:

• per costruzione, i triangoli OPR e OQS sono congruenti; quindi i loro angoli in O sono uguali^[21];
• se a tali angoli in O si aggiunge l'angolo PÔS, si trovano due angoli RÔS e PÔQ, anch'essi uguali fra loro;
• i triangoli ROS e POQ, essendo entrambi isosceli e avendo uguale l'angolo compreso fra i loro lati uguali, sono simili^[24];
• è verificata quindi la proporzione OP : OR = PQ : RS
• sostituendo AB ad OP, CD ad OR, e EF ad PQ, si ottiene la proporzione cercata AB : CD = EF : RS

Nota: se il segmento EF fosse maggiore del doppio di AB, il segmento PQ = EF non potrebbe essere tracciato come corda sulla circonferenza di raggio OP = AB. In questo caso sarebbe necessario prima raddoppiare (o triplicare, quadruplicare...) e segmenti AB e CD per ottenere il risultato desiderato.

Per trovare il centro di una circonferenza, Euclide^[25] suggerisce di:

• tracciare una corda qualsiasi;
• tracciare l'asse della corda;
• bisecare il segmento ottenuto dall'intersezione fra l'asse e la circonferenza.

Un metodo alternativo consiste nel tracciare due corde e trovare l'intersezione dei loro assi; se le corde hanno un punto in comune, il problema si riduce alla determinazione del centro del cerchio circoscritto a un triangolo^[26]:

• tracciare due corde;
• tracciarne gli assi;
• determinare il punto d'intersezione degli assi, che coincide con il centro cercato della circonferenza.

Questo metodo alternativo può essere trasformato in modo da utilizzare i metodi già visti di Mascheroni:

• individuare i punti che definiscono due corde;
• trovare due coppie di punti che definiscono gli assi delle corde;
• determinare il punto di intersezione fra i due assi.

In effetti questo sistema viene utilizzato da Mascheroni proprio per determinare il centro di un cerchio che passi per tre punti dati. La presenza del cerchio già disegnato consente però di conoscere il luogo di tutti i punti che appartengono alla sua circonferenza, il che consente di adottare sistemi più semplici di quello appena descritto.

Dato un cerchio ABM (vedi figura 19), il metodo proposto da Mascheroni per determinarne il centro è il seguente:

• fatto centro in qualche punto A della circonferenza del cerchio dato, con un raggio arbitrario^[27] AB, tracciare l'arco BCDE che interseca la circonferenza data nel punto M;
• riportare sullo stesso arco, per tre volte, la distanza AB da B a C, da C a D e da D a E: BAE è quindi il diametro dell'arco tracciato;
• con centri in E ed A, e con raggio EM, tracciare due archi che si intersecano in L;
• con centro in L e raggio LA = LE tracciare l'arco EAQ che interseca l'arco BME in Q;
• BQ è il raggio cercato della circonferenza: tracciare quindi due archi con tale raggio puntando il compasso in A e B per trovare O, che è il centro del cerchio dato.

Vista l'esistenza di un metodo più semplice per trovare il centro della circonferenza (vedi paragrafo successivo), qui riportiamo solo i punti essenziali della dimostrazione:

• i triangoli LEA e LAQ sono congruenti;
• i triangoli LAQ e ABQ sono simili;
• i triangoli MAE e AOB sono simili;
• i triangoli AOB e OAM sono congruenti;
• i segmenti OM e AO = BO (uguali fra loro per costruzione) sono tutti uguali, quindi O è il centro cercato della circonferenza^[28].

Esiste un metodo alternativo, un po' più semplice sia nella costruzione che nella dimostrazione, per trovare il centro della circonferenza^[29].

Sia data (vedi figura 20) la circonferenza ACBD di cui si vuole trovare il centro. Bisogna:

• tracciare un primo arco FCDG con centro in A e raggio arbitrario, che tagli la circonferenza nei punti C e D;
• con centro in C e D tracciare due archi di raggio CA = DA, che si intersecano nel punto E;
• con raggio EA e centro in E tracciare la circonferenza AFHG, che interseca il primo arco nei punti F e G;
• con centro nei punti F e G e raggio FA = GA tracciare due archi che si intersecano nel punto O: è questo il centro cercato.

Per seguire la dimostrazione occorre immaginare tracciati (anche se non necessari alla costruzione) i punti:

• K, proiezione di C sul segmento AB;
• J, proiezione di F sul segmento AO;
• H, secondo estremo del diametro della circonferenza centrata in E e di raggio EA.

Nella spiegazione che segue omettiamo, per brevità, di dimostrare che i punti A, J, K, O, E, B ed H appartengono tutti al diametro suddetto:

• il triangolo ACB è inscritto in una semicirconferenza, quindi è rettangolo^[19] in C. Vale la proporzione^[30]:

${\displaystyle {\overline {AK}}:{\overline {AC}}={\overline {AC}}:{\overline {AB}}}$

da cui si ricava

${\displaystyle {\overline {AC}}\,^{2}={\overline {AK}}\cdot {\overline {AB}}}$

• anche il triangolo AFH è inscritto in una semicirconferenza, quindi è rettangolo in F. Applicando lo stesso metodo si ottiene:

${\displaystyle {\overline {AF}}\,^{2}={\overline {AJ}}\cdot {\overline {AH}}}$

• essendo AC ed AF uguali per costruzione, si possono eguagliare i membri destri delle due proporzioni:

${\displaystyle {\overline {AK}}\cdot {\overline {AB}}={\overline {AJ}}\cdot {\overline {AH}}}$

• per costruzione, il punto K è medio fra A ed E; ed E è il centro della circonferenza con diametro AH: AH è quindi il doppio di AE e il quadruplo di AK

${\displaystyle {\overline {AK}}\cdot {\overline {AB}}=4\cdot {\overline {AJ}}\cdot {\overline {AK}}}$

• dividendo entrambi i membri per AK si ottiene:

${\displaystyle {\overline {AB}}=4\cdot {\overline {AJ}}}$

• dunque AB è il diametro della circonferenza di cui si cerca il centro, e AJ la sua quarta parte, ovvero metà del raggio. I due archi AO determinano il segmento AO, doppio di AJ: ecco che AO è il raggio della circonferenza, e O il suo centro.

Dato un segmento di lunghezza unitaria AO, per determinare segmenti di lunghezza proporzionale alle radici quadrate da 2 a 10 Mascheroni propone una costruzione (vedi figura 21) che richiede l'uso di solo tre compassi ad apertura fissa (o di un compasso regolabile, da usare con tre sole aperture):

• apertura pari al raggio unitario (circonferenza ed archi indicati in colore rosso);
• apertura proporzionale a ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ volte il raggio unitario (arco in colore ciano);
• apertura proporzionale a ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ volte il raggio unitario (archi in colore verde).

Dato quindi un segmento AO di lunghezza unitaria, occorre:

• con centro in O e raggio OA tracciare la circonferenza ABCDEF;
• con la stessa apertura, partendo da A, determinare i rimanenti vertici dell'esagono inscritto BCDEF;
• con raggio AC = BD e centri in A e D tracciare due archi che si intersecano nei punti G e J;
• con lo stesso raggio, e con centri in C ed E, tracciare due archi che si intersecano in K;
• con raggio OG e centro in D tracciare l'arco che interseca la circonferenza nei punti H ed I;
• con apertura pari al raggio OA della circonferenza e centri in A e H tracciare due archi che si intersecano in L.

In questo schema sono riportati alcuni punti già identificati precedentemente, nelle costruzioni relative divisione della circonferenza:

• ABCDEF sono i vertici dell'esagono regolare inscritto nella circonferenza;
• ACE e DFB sono i vertici di due triangoli equilateri inscritti;
• AHDI sono i vertici del quadrato inscritto nella circonferenza.

Inoltre:

• ALHO sono i vertici del quadrato costruito sul raggio AO;
• G e J si trovano sulla retta perpendicolare al diametro AD, passante per O, a distanza ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ da O;
• K è, per costruzione, simmetrico di A rispetto alla congiungente di C ed E; quindi il segmento AK è tre volte AO;
• P (non necessario alla costruzione, è indicato solo per rendere più comprensibile la spiegazione che segue) è il piede dell'altezza dei triangolo equilatero AOF costruito sul raggio AO.

La tabella che segue illustra le lunghezze così determinate:

Radicando	Segmento	Lunghezza
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\overline {AO}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\overline {OG}},{\overline {OL}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\overline {DG}}\,^{2}-{\overline {DO}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\sqrt {3}}\right)^{2}-1^{2}}}={\sqrt {3-1}}={\sqrt {2}}}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\overline {DF}},{\overline {DG}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\overline {FP}}\,^{2}+{\overline {PD}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {3}{4}}+{\frac {9}{4}}}}={\sqrt {\frac {12}{4}}}={\sqrt {3}}}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle {\overline {AD}}}$	${\displaystyle {\overline {AO}}+{\overline {OD}}=1+1=2}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle {\overline {LD}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\overline {LA}}\,^{2}+{\overline {AD}}\,^{2}}}={\sqrt {1^{2}+2^{2}}}={\sqrt {1+4}}={\sqrt {5}}}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle {\overline {GK}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\overline {GO}}\,^{2}+{\overline {OK}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\sqrt {2}}\right)^{2}+2^{2}}}={\sqrt {2+4}}={\sqrt {6}}}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle {\overline {FK}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\overline {FP}}\,^{2}+{\overline {PK}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {5}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {3}{4}}+{\frac {25}{4}}}}={\sqrt {\frac {28}{4}}}={\sqrt {7}}}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle {\overline {GJ}}}$	${\displaystyle {\overline {GO}}+{\overline {OJ}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}={\sqrt {4\cdot 2}}={\sqrt {8}}}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle {\overline {AK}}}$	${\displaystyle {\overline {AO}}+{\overline {OD}}+{\overline {DK}}=1+1+1=3}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle {\overline {LK}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\overline {LA}}\,^{2}+{\overline {AK}}\,^{2}}}={\sqrt {1^{2}+3^{2}}}={\sqrt {1+9}}={\sqrt {10}}}$

Le radici quadrate di numeri superiori a 10 richiedono un passaggio in più. Per determinare segmenti di lunghezza compresa fra ${\displaystyle {\sqrt {11}}}$ e ${\displaystyle {\sqrt {15}}}$ il metodo proposto da Mascheroni è indicato in figura 22:

• si tracci una semicirconferenza AB di diametro pari a quattro volte il raggio AO usato nella costruzione precedente: tale segmento sarà l'ipotenusa di qualsiasi triangolo rettangolo venga inscritto nella circonferenza;
• si riportino sulla circonferenza, a partire da A, lunghezze pari a quelle già trovate con la costruzione precedente: i segmenti trovati (indicati in rosso) rappresentato il primo cateto di ciascun triangolo rettagonolo;
• il secondo cateto di ciascun triangolo (indicato in blu) ha una lunghezza che può essere calcolata grazie al teorema di pitagora. Ad esempio:

${\displaystyle {\sqrt {14}}={\sqrt {4^{2}-\left({\sqrt {2}}\right)^{2}}}={\sqrt {16-2}}}$

Con lo stesso metodo si possono trovare:

• le radici dei numeri compresi fra 17 e 24 (triangolo rettangolo con ipotenusa lunga 5, e cateti compresi fra ${\displaystyle {\sqrt {8}}}$ e ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$);
• le radici dei numeri compresi fra 26 e 35 (triangolo rettangolo con ipotenusa lunga 6, e cateti compresi fra ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$ e ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$);

Radici quadrate di numeri maggiori richiedono ulteriori passaggi per cui, in semicirconferenze di diametri di lunghezza superiore a 6, si inscrivano i triangoli rettangoli dei il quali un cateto abbia lunghezza pari a una delle radici precedentemente determinate.

L'ultimo capitolo de La Geometria del compasso è dedicato a costruzioni approssimate: si tratta di quelle costruzioni, come l'estrazione della radice cubica di 2, che non possono essere realizzate in modo esatto con l'uso solo della riga e del compasso (o meglio, del solo compasso). Mascheroni cerca di ottenere la massima precisione possibile per ottenere, fra gli altri, i seguenti risultati:

Valore cercato	Errore
Angolo di 0,25° (15 primi)	< 0,000005°
Radiante	< 0,0006°
Lato di un quadrato di area pari a un cerchio dato (quadratura del cerchio)	~ 0,02%
Spigolo di un cubo di volume pari a una sfera data	~ 0,03%
Raggio di una sfera di volume pari a un cubo dato	~ 0,08%
Radice cubica di 2 (duplicazione del cubo)	~ 0,07%

Le costruzioni di Mascheroni presentate nei paragrafi precedenti sono solo una piccola parte della sua opera. Ricordiamo che il suo libro non è stato scritto solo per scopi teorici, ma voleva anche rappresentare un manuale di disegno rivolto a coloro che avevano bisogno di ottenere risultati pratici di alta precisione. Scrive infatti, a conclusione del suo libro:

« E qui sia fine ormai a questa Geometria del Compasso, che se non dispiacerà ai Geometri, e se potrà in qualche modo servire agli Artisti, ai Disegnatori, e specialmente ai Divisori de' cerchi per gli usi Geografici ed Astronomici; io mi troverò della lunga noia divorata nel comporla abbastanza ricompensato. »

• Lorenzo Mascheroni, La geometria del compasso, Palermo, Prem. Casa Ed. «Era Nova», 1901.
• Euclide, Gli elementi, Torino, UTET, 1996.

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• Costruzioni con riga e compasso
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• Retta
• Compasso
• Cerchio
• Circonferenza

• Lorenzo Mascheroni, La geometria del compasso, pdf scaricabile
• Piergiorgio Odifreddi, Riga o compasso? su Le Scienze n. 521 (gennaio 2012), p. 18