Sottogruppo derivato

In algebra, in particolare in teoria dei gruppi, il sottogruppo derivato di un gruppo è il sottogruppo generato dai suoi commutatori.

Il derivato di un gruppo ${\displaystyle G}$ si denota solitamente con ${\displaystyle \mathrm {D} G}$ o ${\displaystyle [G,G]}$, mentre l'iterata ${\displaystyle n}$-esima della derivazione di ${\displaystyle G}$ si denota con ${\displaystyle \mathrm {D} ^{n}G}$.

Sia ${\displaystyle (G,\cdot )}$ un gruppo, ${\displaystyle g,h\in G}$. Il commutatore di ${\displaystyle g}$ e ${\displaystyle h}$ (in quest'ordine!) si definisce come ${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$. Sia ${\displaystyle S=\lbrace [g,h]|g,h\in G\rbrace }$l'insieme dei commutatori di ${\displaystyle G}$. Il derivato ${\displaystyle \mathrm {D} G}$ si definisce come il sottogruppo generato da ${\displaystyle S}$, ovvero il più piccolo sottogruppo di ${\displaystyle G}$ che contiene ${\displaystyle S}$.

Il sottogruppo derivato ${\displaystyle \mathrm {D} G}$ è un sottogruppo caratteristico di ${\displaystyle G}$. Infatti, se ${\displaystyle \varphi }$ è un automorfismo di ${\displaystyle G}$, allora

${\displaystyle \varphi ([g,h])=\varphi (ghg^{-1}h^{-1})=\varphi (g)\varphi (h)\varphi (g)^{-1}\varphi (h)^{-1}=[\varphi (g),\varphi (h)]\in \mathrm {D} G}$,

cioè l'insieme dei commutatori (e quindi il sottogruppo che esso genera, ovvero il sottogruppo derivato) è fissato da ogni automorfismo.

In quanto caratteristico, il derivato è quindi normale in ${\displaystyle G}$, ed è ben definito il gruppo quoziente ${\displaystyle G/\mathrm {D} G}$. È chiaro dalle definizioni che ${\displaystyle G/\mathrm {D} G}$ è sempre abeliano. Tale quoziente viene detto abelianizzato di ${\displaystyle G}$.

Un gruppo è abeliano se e solo se il suo derivato è il gruppo banale. Un sottogruppo normale ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$ fornisce un quoziente ${\displaystyle G/N}$ abeliano se e solo se ${\displaystyle \mathrm {D} G\subseteq N}$. In altre parole, ${\displaystyle DG}$ è il minimo sottogruppo per cui bisogna quozientare per ottenere un quoziente abeliano.

Un'importante applicazione del concetto di derivato di un gruppo è il seguente criterio per la risolubilità di un gruppo finito: se ${\displaystyle G}$ è un gruppo finito, allora ${\displaystyle G}$ è risolubile se e solo se la serie dei derivati

${\displaystyle G\supseteq \mathrm {D} G\supseteq \mathrm {D} ^{2}G\supseteq \dots \supseteq \mathrm {D} ^{n}G\supseteq \dots }$

termina al gruppo banale, cioè se e solo se esiste ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ per cui ${\displaystyle \mathrm {D} ^{n}G=\lbrace 1_{G}\rbrace }$.

La risolubilità di un gruppo ha conseguenze importanti non solo in teoria dei gruppi, ma anche in sue applicazioni ad esempio alla teoria di Galois. Si veda a tale proposito il concetto di risolubilità per radicali.

• S. Bosch, Algebra, Springer-Verlag, 2003.
• A. Machì, Gruppi. Una Introduzione a Idee e Metodi della Teoria dei Gruppi, Springer, 2007.

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