Rendimento isoentropico

Il rendimento isoentropico è un particolare rendimento usato per stabilire quanto una trasformazione adiabatica di compressione o di espansione si avvicini al caso ideale di trasformazione isoentropica, cioè reversibile, nella quale l'entropia non aumenta, ma rimane costante.

La forma differenziale dell'energia interna è:

${\displaystyle dU=-P\operatorname {d} V+T\operatorname {d} S}$

L'entalpia risulta essere

${\displaystyle H=U+PV}$

conseguentemente la forma differenziale dell'entalpia risulta essere:

${\displaystyle dH=\operatorname {d} U+P\operatorname {d} V+V\operatorname {d} P}$

${\displaystyle dH=-P\operatorname {d} V+T\operatorname {d} S+P\operatorname {d} V+V\operatorname {d} P}$

${\displaystyle dH=T\operatorname {d} S+V\operatorname {d} P}$

La forma differenziale dell'entalpia, su di un'isobara si riduce a:

${\displaystyle dH=T\operatorname {d} S}$

Si consideri ora, in riferimento al ciclo di Brayton-Joule riportato in figura, il compressore. Il suo lavoro sarà:

• Caso isoentropico: ${\displaystyle L_{compressore}=H_{1}-H_{2}}$
• Caso non isoentropico: ${\displaystyle L_{compressore}=H_{1}-H_{2'}}$

Tale lavoro risulta essere, in entrambi i casi ${\displaystyle <0}$ poiché il compressore fornisce lavoro al fluido per innalzarne il contenuto entalpico. Riprendendo la forma differenziale dell'entalpia su un'isobara, come quella lungo il percorso ${\displaystyle 2,3}$ su cui giace il punto ${\displaystyle 2}$ del lavoro del compressore, è possibile notare che ad un aumento di ${\displaystyle dS}$, corrispondente ad un aumento dell'irreversibilità, aumenta ${\displaystyle dH}$ e di conseguenza ${\displaystyle H_{2'}}$. Questo comporta quindi che ${\displaystyle L_{compressore}}$ risulti ancora più negativo del caso isoentropico. Quindi ad un aumento dell'irreversibilità aumenta il lavoro che deve compiere il compressore sul fluido.

Considerando invece la turbina si ha che:

• Caso isoentropico: ${\displaystyle L_{turbina}=H_{3}-H_{4}}$
• Caso non isoentropico: ${\displaystyle L_{turbina}=H_{3'}-H_{4'}}$

Tale lavoro risulta essere, in entrambi i casi ${\displaystyle >0}$ poiché la turbina consuma il contenuto entalpico del fluido, per mettere in rotazione il suo albero. Con un ragionamento analogo a quello fatto in precedenza per il compressore, è possibile notare che nella turbina un aumento di irreversibilità comporta una diminuzione del lavoro che essa è in grado di produrre.

Tali considerazioni, eseguite sul ciclo Brayton, e con il lavoro considerato positivo se uscente dal sistema studiato, sono valide anche per altri cicli come un ciclo di Rankine o un ciclo di Rankine a vapore surriscaldato

Il rendimento è definito come ${\displaystyle \eta ={\frac {L_{minimo}}{L_{massimo}}}}$

Applicando tale definizione al caso della turbina e del compressore, è possibile ottenere i corrispettivi rendimenti isoentropici:

• Nel caso di espansione in turbina è definito dal rapporto fra il lavoro reale ottenuto e quello ideale ottenibile dall'isoentropica.

${\displaystyle \eta _{isoentropico\ turbina}={\frac {L_{reale}}{L_{ideale}}}\qquad L_{reale}<L_{ideale}}$

• Nel caso di compressione nel compressore è il rapporto fra il lavoro ideale necessario (cioè minimo) e quello realmente necessario.

${\displaystyle \eta _{isoentropico\ compressore}={\frac {L_{ideale}}{L_{reale}}}\qquad L_{reale}>L_{ideale}}$

Un compressore non isoentropico necessiterà di una maggiore potenza (o lavoro) dell'equivalente compressore isoentropico, visto che entrambi produrranno comunque la stessa variazione di pressione nel gas.

Inversamente vale per i processi di espansione. Una turbina non isoentropica produrrà una minore potenza (o lavoro) dell'equivalente turbina isoentropica, visto che entrambe funzionano con la stessa differenza di pressione.

• Trasformazione isoentropica
• Entropia
• Rendimento (termodinamica)

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