Azione di monodromia

In topologia, l'azione di monodromia è un'azione del gruppo fondamentale di uno spazio topologico sulla fibra dei suoi punti tramite un rivestimento.

Nel seguito supporremo che ${\displaystyle X}$ sia uno spazio topologico connesso per archi^[1], e che ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ sia il suo gruppo fondamentale una volta fissato un elemento (e quindi una puntatura) ${\displaystyle x_{0}\in X}$.

Sia ${\displaystyle p\colon E\to X}$ un rivestimento, e sia ${\displaystyle F=p^{-1}(x_{0})}$ la fibra di un punto ${\displaystyle x_{0}\in X}$. Allora, prendendo proprio ${\displaystyle x_{0}}$ come puntatura, è definita un'azione (destra) di gruppo

${\displaystyle {\mathfrak {m}}\colon F\times \pi _{1}(X,x_{0})\longrightarrow F}$

${\displaystyle ({\tilde {x}},[\gamma ])\longmapsto {\tilde {x}}\cdot [\gamma ]={\tilde {\gamma }}_{\tilde {x}}(1)}$

dove ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{\tilde {x}}\colon [0,1]\to E}$ è il sollevamento (unico) del cammino ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$ tale che ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{\tilde {x}}(0)={\tilde {x}}}$.

• M. Manetti, Topologia, Springer.

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