Somma di Ramanujan

Nella teoria dei numeri, la somma di Ramanujan, in genere indicata con la notazione ${\displaystyle c_{q}(n)}$, è una funzione di due variabili intere q ed n nella formula

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{a}\cos \left({\frac {2\pi na}{q}}\right)=\sum _{a=1 \atop (a,q)=1}^{q}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},}$

dove (a, q) = 1 significa che a assume solamente valori coprimi con q. Quindi, (a, q) indica il massimo comune divisore di a e q, pari a 1, e ${\displaystyle a<q,\;a\in \mathbb {Z} _{0}}$. Gli addendi nella somma sono potenza di una delle radici dell'unità complesse.

Srinivasa Ramanujan trattò per la prima volta questa formula all'interno di appunti scritti nel 1918.^[1] Oltre alle estensioni prese in esame in questo articolo, la somma di Ramanujan è utilizzata anche nella dimostrazione del teorema di Vinogradov, secondo il quale ogni numero dispari sufficientemente grande è la somma di tre numeri primi.^[2]

Dati due interi a e b, ${\displaystyle a\mid b}$ si legge «a divide b» e significa che esiste un intero c tale che b = ac. Analogamente, ${\displaystyle a\nmid b}$ si legge «a non divide b». Il simbolo di sommatoria

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,m}f(d)}$,

significa che d passa attraverso tutti i possibili divisori di m, es.

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12).}$

${\displaystyle (a,\,b)\;}$ è il massimo comune divisore,

${\displaystyle \phi (n)\;}$ è la funzione φ di Eulero,

${\displaystyle \mu (n)\;}$ è la funzione di Möbius,

${\displaystyle \zeta (s)\;}$ è la funzione zeta di Riemann.

La premessa di base delle somme di Ramunujan è la loro moltiplicatività

${\displaystyle c_{kk'}(n)=c_{k}(n)c_{k'}(n),}$

se ${\displaystyle (k,\;k')=1}$ (e c_k(n) è ora la somma di Ramunujan).

Tramite la Funzione di Möbius ${\displaystyle \mu }$:, abbiamo:

${\displaystyle c_{k}(n)=\sum _{d\setminus (k,\;n)}\mu \left({\frac {k}{d}}\right)d.}$

Molte delle funzioni moltiplicative dall'argomento naturale possono essere disposti in righe su c _ {k} (n). È vero anche il contrario.

La proprietà di base (moltiplicativa) delle somme di Ramanujan vi permetterà di calcolare somme della forma:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{n^{s}}}f(n),\quad \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}f(k),}$,

dove ${\displaystyle f(n)}$ è una funzione moltiplicativa, q un numero intero , s in generale un numero complesso.

Nel caso più semplice, otteniamo:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}={\frac {\sigma _{1-s}(n)}{\zeta (s)}},}$

dove ${\displaystyle \zeta (s)}$ è la funzione zeta di Riemann.

Queste formule discendono dalla formula di Eulero ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$, e da alcune elementari identità di trigonometria.

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}}$

Dalla formula risulta che c_q(n) è sempre reale.

Sìa ${\displaystyle \zeta _{q}=e^{\frac {2\pi i}{q}}.}$; allora ζ_q è una radice dell'equazione x^q − 1 = 0. Ciascuna delle sue potenze ζ_q, ζ_q², ... ζ_q^q = ζ_q⁰ = 1, è anch'essa una radice dell'equazione. I numeri ζ_qⁿ dove 1 ≤ n ≤ q, sono dette la q-esima Radice dell'unità.
ζ_q è nota come la q-esima radice dell'unità primitiva perché q è il più piccolo valore d n che rende ζ_qⁿ = 1. L'altra radice dell'unità q-esima primitiva sono i numeri ζ_q^a, dove (a, q) = 1. Pertanto, esistono φ(q) radici dell'unità q-esime primitive.

Possiamo dire che la somma di Ramanujan c_q(n) è la somma delle n-esime potenze della radice dell'unità q-esima primitiva.

È un fatto che le potenze di ζ_q sono esattamente le radici primitive per tutti i divisori di q.^[3]

Esempio. Sia q = 12. Allora

ζ₁₂, ζ₁₂⁵, ζ₁₂⁷, e ζ₁₂¹¹ sono le dodicesime radici dell'unità primitive,

ζ₁₂² e ζ₁₂¹⁰ sono le seste radici dell'unità primitive,

ζ₁₂⁴ and ζ₁₂⁸ sono le quarte radici dell'unità primitive,

ζ₁₂⁶ = −1 sono le seconde radici dell'unità primitive,

ζ₁₂¹² = 1 è la prima radice dell'unità primitiva.

Quindi, se

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{k=1}^{q}\zeta _{q}^{kn}}$

è la somma delle n-esime potenze di tutte le radici, primitive e non primitive,

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,q}c_{d}(n),}$

e, per la Formula di inversione di Möbius,

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\eta _{d}(n).}$

Dalla identità x^q − 1 = (x − 1)(x^q−1 + x^q−2 + ... + x + 1) , segue che

${\displaystyle \eta _{q}(n)={\begin{cases}0&\;{\mbox{ if }}q\nmid n\\q&\;{\mbox{ if }}q\mid n\\\end{cases}}}$

e ciò conduce alla formula

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,(q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d,}$,

pubblicata da Kluyver nel 1906.^[4][5]

Ciò mostra che c_q(n) è sempre un intero. Si confronti con la formula

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{d\,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d.}$

Dalla definizione è facile dimostrare che c_q(n) è una funzione moltiplicativa quando la si considera una funzione di q per un valore di n fissato::^[6] es.

${\displaystyle {\mbox{If }}\;(q,r)=1\;{\mbox{ then }}\;c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

Dalla definizione (o dalla formula di Kluyver) è immediato dimostrare che, se p è un numero primo

${\displaystyle c_{p}(n)={\begin{cases}-1&{\mbox{ if }}p\nmid n\\\phi (p)&{\mbox{ if }}p\mid n\\\end{cases}},}$

e che, se p^k è una prima potenza dove k > 1,

${\displaystyle c_{p^{k}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&{\mbox{ if }}p^{k-1}\mid n{\mbox{ and }}p^{k}\nmid n\\\phi (p^{k})&{\mbox{ if }}p^{k}\mid n\\\end{cases}}.}$

Questo risultato e la proprietà moltiplicativa possono essere usati per provare che

${\displaystyle c_{q}(n)=\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right){\frac {\phi (q)}{\phi \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}}.}$

nota come la funzione aritmetica di von Sterneck.^[7] L'equivalenza fra questa e la somma di Ramanujan fu provata da Hölder.^[8][9]

Per tutti i q interi positivi,

${\displaystyle c_{1}(q)=1,\;\;c_{q}(1)=\mu (q),\;{\mbox{ and }}\;c_{q}(q)=\phi (q).}$

${\displaystyle {\mbox{If }}m\equiv n{\pmod {q}}{\mbox{ then }}c_{q}(m)=c_{q}(n).}$

Per un valore fissato di q, il valore assoluto della sequenza

c_q(1), c_q(2), ... è limitato da φ(q), e

per un valore fissato di n, il valore assoluto della sequenza

c₁(n), c₂(n), ... è limitato da n

Se q > 1

${\displaystyle \sum _{n=a}^{a+q-1}c_{q}(n)=0.}$

Sìa m₁, m₂ > 0, m = lcm(m₁, m₂). Allora^[10], la somma di Ramanujan soddisfa la proprietà di ortogonalità:

${\displaystyle {\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{m_{1}}(k)c_{m_{2}}(k)={\begin{cases}\phi (m)&m_{1}=m_{2}=m,\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}}$

Sìa n, k > 0. Allora^[11],

${\displaystyle \sum _{\stackrel {d\mid n}{\gcd(d,k)=1}}d\;{\frac {\mu ({\tfrac {n}{d}})}{\phi (d)}}={\frac {\mu (n)c_{n}(k)}{\phi (n)}},}$,

nota come l'identità di Brauer-Rademacher.

Se n > 0 e a è intero, abbiamo anche che^[12]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}c_{n}(k-a)=\mu (n)c_{n}(a),}$

scoperta da Cohen.

Se f(n) è una funzione aritmetica, si dice 'estensione di Ramanujan^[13] per f(n)

${\displaystyle f(n)=\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)}$,

oppure anche la forma

${\displaystyle f(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{q}(n)}$,

dove a_k ∈ C.

In particolare, per s reale >= 1, si ottiene la Serie di Dirichlet

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{s}}}={\frac {\sigma _{1-s}(n)}{\zeta (s)}},}$,

dove σ è la Funzione sigma e ζ è la funzione zeta di Riemann. Per s = 1 e s = 2, essa diventa

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q}}=0}$,

e

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{2}}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}{\frac {\sigma _{1}(n)}{n}}}$,

rispettivamente.

Altre identità ottenute da Ramanujan sono:

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q}}\log(q)=-\sigma _{0}(n)}$

e

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }(-1)^{q-1}{\frac {c_{2q-1}(n)}{2q-1}}=r_{2}(n),}$,

dove r₂(n) è il numero di rappresentazioni di n nella forma x² + y² (x, y interi).

Sìa f(n) una funzione aritmetica (ad esempio una funzione a valori complessi dei numeri interi o dei numeri naturali), allora una serie infinita convergente nella forma

${\displaystyle f(n)=\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)}$

oppure

${\displaystyle f(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{q}(n)}$

dove {{a_k ∈ C}}, è chiamata estensione di Ramanujan^[13] di f(n).

Ramanujan trovò estensioni per alcune delle più note funzioni nella teoria dei numeri. Tutti questi risultati teorici vengono provati con una strumentazione matematica elementare (ad esempio utilizzando manipolazioni formali delle serie oppure i risultati riguardo alla convergenza)^[14][15][16]

L'estensione della funzione zero dipende da un risultato della teoria analitica dei numeri primi, e precisamente dal fatto che la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}}$

converge a 0, mentre per r(n) e r′(n) dipende da teoremi in uno scritto precedente .^[17].

Tutte le formule riportate in questo paragrafo sono relative al paper di Ramanujan del 1918.

Le funzioni generatrici delle somme di Ramanujan sono serie di Dirichlet:

${\displaystyle \zeta (s)\sum _{\delta \,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ^{1-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{n^{s}}}}$

è la funzione generatrice della successione c_q(1), c_q(2), ...dove q è una costante data, e

${\displaystyle {\frac {\sigma _{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}}}}$

è la funzione generatrice della successione c₁(n), c₂(n), ... dove n è una costante data.

Abbiamo inoltre la doppia serie di Dirichlet

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}n^{s}}}.}$

σ_k(n) è la funzione sigma (es. la somma della k-esime potenze dei divisori di n, inclusi 1 ed n). σ₀(n), il numero dei divisori di n, è in genere scritto d(n) e σ₁(n), la somma dei divosri di n, è in genere scritto come σ(n).

Se s > 0,

${\displaystyle \sigma _{s}(n)=n^{s}\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\dots \right)}$

e

${\displaystyle \sigma _{-s}(n)=\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\dots \right).}$

Ponendo s = 1, si ha

${\displaystyle \sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{2}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}+\dots \right).}$

Se l'Ipotesi di Riemann è vera, e ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<s<{\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \sigma _{s}(n)=\zeta (1-s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1-s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1-s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1-s}}}+\dots \right)=n^{s}\zeta (1+s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1+s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1+s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1+s}}}+\dots \right).}$

d(n) = σ₀(n) è il numero di divisori di n, inclusi 1 ed n.

${\displaystyle {\begin{aligned}-d(n)&={\frac {\log 1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log 2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log 3}{3}}c_{3}(n)+\dots \\-d(n)(2\gamma +\log n)&={\frac {\log ^{2}1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log ^{2}2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log ^{2}3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \end{aligned}}}$

dove γ = 0.5772... è la costante di Eulero-Mascheroni.

φ(n) è il numero di interi positivi minori di n e coprimi con n. Ramanujan definì una generalizzazione di essa, se:

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots }$

è la scomposizione di n in fattori di primi, ed s un numero complesso, si ottiene

${\displaystyle \phi _{s}(n)=n^{s}(1-p_{1}^{-s})(1-p_{2}^{-s})(1-p_{3}^{-s})\cdots ,}$

in modo tale che φ₁(n) = φ(n) è la funzione di Eulero.^[18]

Egli dimostrò che

${\displaystyle {\frac {\mu (n)n^{s}}{\phi _{s}(n)\zeta (s)}}=\sum _{\nu =1}^{\infty }{\frac {\mu (n\nu )}{\nu ^{s}}}}$

ed usò tale risultato per provare che

${\displaystyle {\frac {\phi _{s}(n)\zeta (s+1)}{n^{s}}}={\frac {\mu (1)c_{1}(n)}{\phi _{s+1}(1)}}+{\frac {\mu (2)c_{2}(n)}{\phi _{s+1}(2)}}+{\frac {\mu (3)c_{3}(n)}{\phi _{s+1}(3)}}+\dots .}$

ponendo s = 1,

${\displaystyle \phi (n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}n\left(c_{1}(n)-{\frac {c_{2}(n)}{2^{2}-1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{2}-1}}-{\frac {c_{5}(n)}{5^{2}-1}}+{\frac {c_{6}(n)}{(2^{2}-1)(3^{2}-1)}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{2}-1}}+{\frac {c_{10}(n)}{(2^{2}-1)(5^{2}-1)}}-\dots \right).}$

Si noti che la costante è l'inverso^[19] di quella che compare nella formula per σ(n).

Per ogni n > 0,

${\displaystyle 0=c_{1}(n)+{\frac {1}{2}}c_{2}(n)+{\frac {1}{3}}c_{3}(n)+\dots .}$

che è equivalente al teorema dei numeri primi.^[7][20]

r_2s(n) è il numero di modi possibili per rappresentare n come la somma di due numeri quadrati perfetti, conteggiando come differenti due diversi ordini degli addendi o segni (es., r₂(13) = 8, as 13 = (±2)² + (±3)² = (±3)² + (±2)².)

Ramanujan definì una funzione δ_2s(n) e pubblicò un paper^[17] in cui provò che r_2s(n) = δ_2s(n) per s = 1, 2, 3, e 4. Per s > 4 provò che δ_2s(n) è una buona approssimazione per r_2s(n).

s = 1 ha una formula particolare:

${\displaystyle \delta _{2}(n)=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-\dots \right).}$

Nelle formule seguenti i segni si ripetono con una periodicità di 4.

Se s ≡ 0 (mod 4),

${\displaystyle \delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)}$

Se s ≡ 2 (mod 4),

${\displaystyle \delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)}$

Se s ≡ 1 (mod 4) e s > 1,

${\displaystyle \delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)}$

Se s ≡ 3 (mod 4),

${\displaystyle \delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)}$

e pertanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{2}(n)&=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-{\frac {c_{7}(n)}{7}}+{\frac {c_{11}(n)}{11}}-{\frac {c_{13}(n)}{13}}+{\frac {c_{15}(n)}{15}}-{\frac {c_{17}(n)}{17}}+\cdots \right)\\r_{4}(n)&=\pi ^{2}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}-{\frac {c_{8}(n)}{16}}+{\frac {c_{5}(n)}{25}}-{\frac {c_{12}(n)}{36}}+{\frac {c_{7}(n)}{49}}-{\frac {c_{16}(n)}{64}}+\cdots \right)\\r_{6}(n)&={\frac {\pi ^{3}n^{2}}{2}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{8}}-{\frac {c_{3}(n)}{27}}-{\frac {c_{8}(n)}{64}}+{\frac {c_{5}(n)}{125}}-{\frac {c_{12}(n)}{216}}-{\frac {c_{7}(n)}{343}}-{\frac {c_{16}(n)}{512}}+\cdots \right)\\r_{8}(n)&={\frac {\pi ^{4}n^{3}}{6}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{4}(n)}{16}}+{\frac {c_{3}(n)}{81}}+{\frac {c_{8}(n)}{256}}+{\frac {c_{5}(n)}{625}}+{\frac {c_{12}(n)}{1296}}+{\frac {c_{7}(n)}{2401}}+{\frac {c_{16}(n)}{4096}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

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