Operatore momento angolare

L'operatore momento angolare (detto anche momento angolare orbitale) è l'analogo quantistico del momento angolare della meccanica classica, ovvero il momento della quantità di moto. Esso è il generatore delle rotazioni nello spazio.

Il momento angolare è il momento della quantità di moto. Esso è pertanto definito come:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

dove ${\displaystyle \times }$ è il prodotto vettoriale. Classicamente ha componenti cartesiane:

${\displaystyle {\begin{cases}L_{x}=yp_{z}-zp_{y}\\L_{y}=zp_{x}-xp_{z}\\L_{z}=xp_{y}-yp_{x}\end{cases}}}$

In meccanica quantistica il momento angolare è rappresentato dall'operatore dato da:

${\displaystyle L_{x}=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)}$

${\displaystyle L_{y}=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)}$

${\displaystyle L_{z}=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)}$

ovvero la riscrittura delle componenti cartesiane classiche mediante l'operatore impulso:

${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$

scritto nella base delle coordinate.

In meccanica classica una rotazione di un angolo ${\displaystyle \alpha }$, intorno ad un asse (per esempio ${\displaystyle z}$) è descritta da una matrice ortogonale:

${\displaystyle R_{z}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

analogamente per gli altri assi. In generale una rotazione nello spazio è descritta dalla composizione di tre singole rotazioni sugli assi:

${\displaystyle R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \gamma &\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma &-\sin \beta \cos \gamma \\-\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \beta \sin \gamma \\\cos \alpha \sin \beta &\sin \alpha \sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}}$

La matrice ${\displaystyle R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ è una matrice reale e ortogonale speciale, cioè

${\displaystyle R=R^{*}\quad ;\quad R^{T}=R^{-1}\quad ;\quad \det R=1}$.

Consideriamo rotazioni infinitesime di un angolo ${\displaystyle \varepsilon }$ su ognuno dei tre assi:

${\displaystyle R_{z}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon &0\\\varepsilon &1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle R_{x}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\0&\varepsilon &1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0&-\varepsilon \\0&1&0\\\varepsilon &0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\end{pmatrix}}}$

per angoli infinitesimi cioè abbiamo sviluppato in serie di potenze. Ora componiamo le rotazioni ${\displaystyle x,\,y}$:

${\displaystyle R_{x}(\varepsilon )\cdot R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&0&-\varepsilon \\-\varepsilon ^{2}&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\\varepsilon &\varepsilon &1-\varepsilon ^{2}\end{pmatrix}}}$

e

${\displaystyle R_{y}(\varepsilon )\cdot R_{x}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon ^{2}&-\varepsilon \\0&1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}&-\varepsilon \\\varepsilon &\varepsilon &1-\varepsilon ^{2}\end{pmatrix}}}$

Vediamo il commutatore di queste due quantità:

${\displaystyle R_{y}(\varepsilon )\cdot R_{x}(\varepsilon )-R_{x}(\varepsilon )\cdot R_{y}(\varepsilon )={\begin{pmatrix}0&-\varepsilon ^{2}&0\\\varepsilon ^{2}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}=R_{z}(\varepsilon ^{2})-{\hat {I}}}$

Ebbene le componenti dei momenti angolari su assi diversi non commutano.

Se ${\displaystyle {\hat {R}}_{z}(\alpha )}$ è l'operatore di rotazione intorno all'asse ${\displaystyle z}$ e lo applichiamo ad una funzione d'onda ${\displaystyle \psi (x,y,z)}$ otteniamo:

${\displaystyle {\hat {R}}_{z}(\alpha )\psi (x,y,z)=\psi (x\cos \alpha +y\sin \alpha ,-x\sin \alpha +y\cos \alpha ,z)}$

Considerando invece una rotazione infinitesima, per esempio lungo l'asse ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle {\hat {R}}_{z}(\varepsilon )\psi (x,y,z)\simeq \psi (x+\varepsilon y,-\varepsilon x+y,z)\simeq \psi (x,y,z)+\varepsilon \left(y{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-x{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\right)}$

in definitiva:

${\displaystyle {\hat {R}}_{z}(\varepsilon )\psi (x,y,z)\simeq \left({\hat {I}}-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {L}}_{z}\right)\psi (x,y,z)}$

Allora l'operatore di rotazione infinitesima è proprio il fattore tra parentesi che come si vede contiene la componente lungo l'asse ${\displaystyle {\hat {z}}}$ del momento angolare, per cui l'operatore ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ è il generatore della rotazione intorno all'asse ${\displaystyle {\hat {z}}}$. Poiché una rotazione finita può essere ottenuta come somma di ${\displaystyle N}$ rotazioni infinitesime: ${\displaystyle d\alpha ={\frac {\alpha }{N}}}$, allora:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +d\mathbf {r} )=\left({\hat {I}}+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\alpha }{N}}{\hat {\mathbf {L} }}\right)^{N}\psi (\mathbf {r} )}$

dove abbiamo usato la notazione tridimensionale. Facciamo il limite ${\displaystyle N\to \infty }$ di questa espressione:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ')=\exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\psi (\mathbf {r} )}$

A conferma di ciò, il teorema di Noether per la Lagrangiana afferma che per ogni simmetria della Lagrangiana, in questo caso l'invarianza per rotazione rispetto ad un asse, per esempio l'asse ${\displaystyle j}$, vi è una quantità conservata pari a

${\displaystyle Q^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\delta q^{j}}$.

Tale quantità conservata genera la trasformazione responsabile della simmetria. Nel caso di una rotazione, la trasformazione è

${\displaystyle \mathbf {x} \longrightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x} +\delta \mathbf {x} }$

e si ha che

${\displaystyle \delta \mathbf {x^{j}} ={-\varepsilon x^{k} \choose \varepsilon x^{i}}=\delta q}$

perciò:

${\displaystyle Q^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{i}}}\delta x^{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}^{i}}}{-\varepsilon x^{k} \choose \varepsilon x^{i}}=-p^{i}\varepsilon x^{k}+p^{k}\varepsilon x^{i}=\varepsilon (x^{i}p^{k}-x^{k}p^{i})=\varepsilon L^{j}\ }$

In base alle proprietà delle rotazioni nello spazio, l'operatore di rotazione

${\displaystyle \exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}}$

deve avere la proprietà di riprodurre la stessa rotazione per rotazioni identitarie, cioè ${\displaystyle \alpha \to 0}$:

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}\exp {\left(\alpha {\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}={\hat {I}}}$

inoltre le rotazioni successive si devono poter comporre:

${\displaystyle \exp {\left(\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\exp {\left(\alpha _{2}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}=\exp {\left[(\alpha _{1}+\alpha _{2}){\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right]}}$

Inoltre applicando una rotazione diretta e una inversa dello stesso angolo si deve ritornare allo stato iniziale:

${\displaystyle \exp {\left(\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}\exp {\left(-\alpha _{1}{\frac {i}{\hbar }}{\hat {\mathbf {L} }}\right)}={\hat {I}}}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Commutatore (matematica).

Il commutatore tra due componenti del momento angolare è il seguente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}\right]&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{x}]+[{\hat {y}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}+[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]+[{\hat {y}},{\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]{\hat {p}}_{z}+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]+[{\hat {z}},{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}\\&={\hat {y}}{\hat {z}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {p}}_{x}]+{\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}+{\hat {z}}[{\hat {y}},{\hat {p}}_{x}]{\hat {p}}_{z}+[{\hat {y}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}{\hat {p}}_{z}+{\hat {z}}{\hat {x}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}]+{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}+{\hat {x}}[{\hat {z}},{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}+[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{z}{\hat {p}}_{y}\\&={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{x}+{\hat {x}}[{\hat {z}},{\hat {p}}_{z}]{\hat {p}}_{y}\\&=i\hbar ({\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x})=i\hbar L_{z}\\\end{aligned}}}$

dove i commutatori fra le componenti di ${\displaystyle {\hat {r}}}$ e ${\displaystyle {\hat {p}}}$ risultano tutti nulli, eccetto nel caso ${\displaystyle [{\hat {j}},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar }$ con ${\displaystyle j=x,y,z}$.

Per analogia si trovano gli altri, ricapitolando:

${\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=i\hbar {\hat {L}}_{x}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=i\hbar {\hat {L}}_{y}}$

Si può costruire l'operatore ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$, cioè l'operatore:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}&=({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})^{2}=[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{x}]^{2}+[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{y}]^{2}+[({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }})_{z}]^{2}\\&={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\end{aligned}}}$

Tale operatore commuta con le componenti del momento angolare, infatti:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {L}}_{z},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}\right]&=[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}]\\&=[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}^{2}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}^{2}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{z}^{2}]\\&={\hat {L}}_{x}[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]{\hat {L}}_{x}+{\hat {L}}_{y}[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}]+[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{y}]{\hat {L}}_{y}\\&=i\hbar {\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{y}+i\hbar {\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{y}\\&=0\end{aligned}}}$

e analogamente:

${\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}]=0}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{y},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}]=0}$

cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$.

Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli operatori di posizione e impulso.

${\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {x}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {x}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {x}}]-[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]+[{\hat {z}},{\hat {x}}]{\hat {p}}_{y}=0}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {y}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {y}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {y}}]-[{\hat {z}},{\hat {y}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]+[{\hat {z}},{\hat {y}}]{\hat {p}}_{y}=-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {y}}]=i\hbar {\hat {z}}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {z}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]-[{\hat {z}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{y}-{\hat {z}}[{\hat {p}}_{y},{\hat {z}}]+[{\hat {z}},{\hat {z}}]{\hat {p}}_{y}={\hat {y}}[{\hat {p}}_{z},{\hat {z}}]=-i\hbar {\hat {y}}}$

Allo stesso modo ${\displaystyle {\hat {L}}_{y}}$ e ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$, in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse, in forma compatta:

${\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {x}}_{k}}$

dove ${\displaystyle {\hat {x}}_{j}=({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}$ e ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ è il simbolo di Levi-Civita, che è uguale a ${\displaystyle +1}$ per permutazioni pari degli indici, ${\displaystyle -1}$ per permutazioni dispari e ${\displaystyle 0}$ se due indici sono uguali.

Per quanto riguarda le commutazioni con i momenti vale esattamente la stessa cosa:

${\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {p}}_{k}}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica).

Le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tutti singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. Possiamo scegliere una sola componente, per semplicità ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$. Le equazioni agli autovalori sono:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l\rangle =a|l\rangle }$

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}|m\rangle =b|m\rangle }$

dal momento che ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$ commuta con ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$, essi hanno una base comune di autostati, e pertanto gli autostati ${\displaystyle |l\rangle }$ e ${\displaystyle |m\rangle }$ coincidono, e vengono indicati con ${\displaystyle |l,m\rangle }$.

Bisogna trovare quali sono gli autovalori ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$, a volte indicati con ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle l_{z}}$, oppure con ) simultanei di questi operatori:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =a|l,m\rangle \\{\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =b|l,m\rangle \end{matrix}}\right.}$

Per fare questo vanno introdotti due operatori, detti operatori di scala o operatori scaletta:

${\displaystyle {\hat {L}}_{\pm }={\hat {L}}_{x}\pm i{\hat {L}}_{y}}$

che sono uno il complesso coniugato dell'altro e non sono hermitiani. Questi operatori hanno le proprietà:

${\displaystyle [{\hat {L}}_{+},{\hat {L}}_{-}]=2\hbar {\hat {L}}_{z}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{\pm }]=\pm \hbar {\hat {L}}_{\pm }}$

${\displaystyle [{\hat {\mathbf {L} }}^{2},{\hat {L}}_{\pm }]=0}$

L'operatore ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$ può essere espresso in termini di ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ e operatori di scala:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}={\hat {L}}_{+}{\hat {L}}_{-}+{\hat {L}}_{z}^{2}-\hbar {\hat {L}}_{z}={\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z}}$

Per vedere quale sia il significato di ${\displaystyle {\hat {L}}_{\pm }}$, vediamo come ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ agisce sullo stato ${\displaystyle {\hat {L}}_{\pm }|l,l_{z}\rangle }$:

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)=\left([{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{\pm }]+{\hat {L}}_{\pm }{\hat {L}}_{z}\right)|l,m\rangle =(b\pm \hbar )\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)}$

cioè applicando ${\displaystyle {\hat {L}}_{+}}$, l'autovalore di ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ aumenta di ${\displaystyle \hbar }$, viceversa applicando ${\displaystyle {\hat {L}}_{-}}$, l'autovalore di ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ viene diminuito di ${\displaystyle \hbar }$, da cui il nome di operatori di scala. Invece:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}\left({\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle \right)={\hat {L}}_{\pm }{\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =a{\hat {L}}_{\pm }|l,m\rangle }$

cioè l'applicazione degli operatori ${\displaystyle {\hat {L}}_{\pm }}$ cambiano gli autovalori di ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$, ma non di ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$.

Per ovvi motivi di proiezione, la relazione che lega ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$ ed ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ è:

${\displaystyle \langle l,m|({\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2})|l,m\rangle =\langle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}-{\hat {L}}_{z}^{2}\rangle \geq 0}$

ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:

${\displaystyle -a\leq b\leq a}$

cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare non possono superare quelli di ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$: fisicamente ciò significa che ${\displaystyle b}$ assume il suo valore massimo quando ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$ coincide con la direzione dell'asse ${\displaystyle z}$, così la sua proiezione ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ coincide con ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$, in tal caso ${\displaystyle a=b}$. Quindi l'autovalore di ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$.

Siano ${\displaystyle b_{min}}$ il valore minimo e ${\displaystyle b_{max}}$ il valore massimo che può assumere ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$. Applicando successivamente gli operatori di scala ${\displaystyle {\hat {L}}_{+},{\hat {L}}_{-}}$, si capisce che deve essere:

${\displaystyle {\hat {L}}_{+}|a,b_{max}\rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {L}}_{-}|a,b_{min}\rangle =0}$

Ora applichiamo

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}|a,b_{max}\rangle =({\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z})|a,b_{max}\rangle =(b_{max}^{2}\hbar ^{2}+b_{max}\hbar ^{2})|a,b_{max}\rangle }$

cioè:

${\displaystyle a=(b_{max}^{2}+b_{max})\hbar ^{2}=\hbar ^{2}b_{max}(b_{max}+1)}$

Quindi l'autovalore di ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$ è ${\displaystyle \hbar ^{2}a(a+1)}$, dove a deve essere intero o semintero. Ora per quanto detto:

${\displaystyle -a\leq b\leq a}$

e anche qui ${\displaystyle b}$ deve essere intero o semintero, perché tutti i valori di ${\displaystyle b}$ sono distanti ${\displaystyle \hbar }$ uno dall'altro (ricordiamo che le grandezze quantistiche si misurano in unità di ${\displaystyle \hbar }$), dove se ${\displaystyle k}$ è un intero, fissato ${\displaystyle a}$, vi sono ${\displaystyle (2k+1)}$ valori di ${\displaystyle b}$, cioè ${\displaystyle b=\{-a,-a+1,\dots ,a\}}$ per cui se ${\displaystyle a}$ è intero lo è anche ${\displaystyle b}$ e se ${\displaystyle a}$ è semintero, lo è anche ${\displaystyle b}$. Si può dimostrare che gli autovalori ${\displaystyle a}$ sono interi e quindi anche ${\displaystyle b}$ sono interi: con questa scelta otteniamo infine le equazioni agli autovalori di ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$ e ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}|l,m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|l,m\rangle }$

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =m\hbar |l,m\rangle }$

dove ${\displaystyle l=0,1,\dots }$ è il numero quantico orbitale ed ${\displaystyle m=\{-l,-l+1,\dots ,l\}}$ è il numero quantico magnetico.

Lo stesso argomento in dettaglio: Autofunzioni del momento angolare e Armoniche sferiche.

Il momento angolare si introduce quando si affrontano problemi a simmetria sferica mediante l'uso delle coordinate sferiche. Non potendo diagonalizzare le tre componenti, si diagonalizzano simultaneamente (dato che commutano) il suo modulo quadro e la sua componente lungo ${\displaystyle z}$. La sua rappresentazione spaziale è:

${\displaystyle L^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}}$

Mentre quella lungo ${\displaystyle z}$ è:

${\displaystyle L_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}}$

Le autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale ${\displaystyle L^{2}}$ e della sua componente lungo ${\displaystyle z}$ sono dette armoniche sferiche, le cui equazioni agli autovalori sono:

${\displaystyle L^{2}|l,m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)|l,m\rangle }$

${\displaystyle L_{z}|l,m\rangle =\hbar m|l,m\rangle }$

le armoniche sferiche sono pertanto

${\displaystyle \langle \theta ,\phi |l,m\rangle =Y_{l,m}(\theta ,\phi )}$

• Jun John Sakurai, Meccanica quantistica moderna, Bologna, Zanichelli, 1996, ISBN 88-08-12706-0.
• Lev Landau e Evgenij Lifšic, Meccanica quantistica, teoria non relativistica, Roma, Editori Riuniti, 2004, ISBN 88-359-5606-4.

• Numero quantico orbitale
• Autofunzioni del momento angolare
• Operatore momento angolare totale
• Composizione di operatori momento angolare
• Coefficienti di Clebsch-Gordan
• Vortice ottico
• Spin

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