Rete di Zobel
La rete di Zobel è un tipo di filtro basato sul principio della immagine d'impedenza. Il nome deriva dal suo inventore Otto Julius Zobel del Bell Labs, che pubblicò opere sul tema nel 1923.[1] La caratteristica della rete di Zobel è di avere una impedenza d'ingresso costante indipendentemente dalla funzione di trasferimento. Questo è possibile al costo di implementare più sezioni di filtro e quindi componenti rispetto ad altri filtri. L'impedenza è nominalmente costante e resistiva pura. Per questo motivo le reti di Zobel sono anche dette a resistenza costante. Qualunque impedenza può essere implementata con componenti discreti.
Le reti di Zobel sono largamente utilizzate nelle telecomunicazioni per appiattire e allargare le risposte in frequenza di linee di rame terrestri, aumentando la qualità delle linee telefoniche. L'uso è calato con il passaggio ai sistemi digitali che hanno soppiantato quelli analogici.
Quando utilizzato per cancellare la parte reattiva dell'impedenza di un altoparlante viene chiamato a volte cella di Boucherot. In questo caso, solo metà della rete è implementata con componenti discreti, mentre l’altra parte è formata dal circuito equivalente del trasduttore. È usata anche per la correzione del fattore di potenza nella distribuzione di corrente elettrica, ecco l'associazione al nome Boucherot.
Una configurazione tipica di una rete di Zobel è quella con ponte a T.
Derivazione
[modifica | modifica wikitesto]![Rete di Zobel come ponte bilanciato](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Zobel_%281%29_Bridge.svg/350px-Zobel_%281%29_Bridge.svg.png)
La base della rete di Zobel è un ponte bilanciato come mostrato in figura. La condizione di bilanciamento è;
Se questo è espresso in termini di una normalizzata Z0 = 1 come convenzionalmente fatto nelle tavole di filtri, la condizione di bilanciamento è semplice;
In altre parole, è semplicemente l'inverso, o impedenza duale di .
L'impedenza del ponte ZB è attraverso i punti bilanciati e nessun potenziale lo attraversa. Conseguentemente, non vi è corrente che attraversa e il suo valore non fa differenza alla funzione del circuito. Comunque solitamente il suo valore scelto è Z0 per ragioni che si evincono nella configurazione a T.
Impedenza d'ingresso
[modifica | modifica wikitesto]L'impedenza d'ingresso è data da
Sostituendo la condizione di bilanciamento,
si ottiene
La impedenza d'ingresso può essere progettata resistiva pura settando
L'impedenza d'ingresso sarà quindi reale e indipendente da ω in banda e fuori banda indipendentemente dalla complessità delle sezioni del filtro scelte.
Funzione di trasferimento
[modifica | modifica wikitesto]![Circuito equivalente di rete di Zobel per il calcolo del guadagno](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Zobel_%282%29_Transfer.svg/300px-Zobel_%282%29_Transfer.svg.png)
Se Z0 nella parte sotto a destra del circuito è preso come carico sull'uscita allora la funzione di trasferimento di Vin/Vo può essere calcolata per la sezione. Solo il ramo rhs deve essere considerato per il calcolo. La ragione di questo è da trovare nel fatto che non vi è corrente che scorre attraverso RB. Nessuna corrente scorre attraverso il ramo lhs verso il carico. Il ramo lhs non può avere effetto sull'uscita. È certamente influenzata l'impedenza d'ingresso (e il voltaggio all'ingresso) ma non la funzione di trasferimento. La funzione di trasferimento è quindi;
Implementazione con ponte a T
[modifica | modifica wikitesto]![Ponte a T di Zobel](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Zobel_%283%29_Bridge_T.svg/350px-Zobel_%283%29_Bridge_T.svg.png)
L'impedenza del carico è l'impedenza delle sezioni o della linea di trasmissione e può essere omessa dal circuito. Se settiamo;
il circuito sulla destra risulta. Questo si riferisce a un ponte a T perché l'impedenza Z è vista dal "ponte" attraverso la sezione a T. Lo scopo di susare ZB = Z0 è di rendere simmetrica la sezione del filtro. Questo ha il vantaggio di avere la stessa impedenza, Z0, sia in ingresso che in uscita.
Tipi di sezione
[modifica | modifica wikitesto]Unn filtro Zobel può essere implementato come passa basso, passa alto, passa banda o elimina banda. È possibile anche implementare un filtro a risposta piatta di attenuazione.
Attenuatore
[modifica | modifica wikitesto]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Zobel_%284%29_Attenuator.svg/220px-Zobel_%284%29_Attenuator.svg.png)
Per una sezione che faccia da attenuatore, Z è semplicemente
e
L'attenuazione è data da;
Passa basso
[modifica | modifica wikitesto]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Zobel_%285%29_Low-pass.svg/220px-Zobel_%285%29_Low-pass.svg.png)
Per una sezione passa basso, Z è un induttore e Z ' è una capacità;
e
dove
La funzione di trasferimento è data
Il punto 3 dB si ha quando ωL = R0 così i 3 dB di cut-off è dato da
dove ω è nella banda eliminata circa ωc,
può essere visto da A(ω) calando lontano nell abanda eliminata a 6 dB/ottava (o 20 dB/decade).
Passa alto
[modifica | modifica wikitesto]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Zobel_%286%29_High-pass.svg/220px-Zobel_%286%29_High-pass.svg.png)
Per un filtro passa alto, Z è una capacità e Z' un induttore:
e
dove
La funzione di trasferimento della sezione è data da
Il punto 3 dB occorre quando ωC = 1⁄R0 così la frequenza a 3 dB cut-off è data da
In elimina banda,
Passa banda
[modifica | modifica wikitesto]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Zobel_%287%29_Band-pass.svg/310px-Zobel_%287%29_Band-pass.svg.png)
Per una sezione passa banda, Z è una serie di circuiti risonanti e Z' è un o shunt risonante;
e
La funzione di trasferimento è data da
Il punto 3 dB occorre quando |1 − ω2LC| = ωCR0 così la frequenza a 3 dB cut-off è data da
dal centro frequenza, ωm, e larghezza di banda, Δω, può essere determinata:
Nota questo è differente dalla frequenza di risonanza
la relazione tra loro inizia da
Elimina banda
[modifica | modifica wikitesto]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7b/Zobel_%288%29_Band-stop.svg/220px-Zobel_%288%29_Band-stop.svg.png)
Per una sezione elimina banda, Z è uno shunt risonante e Z' è una serie risonante
e
La funzione di trasferimento e la larghezza di banda può essere trovata in analogia con la sezione passa banda.
e,
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Zobel, O. J., Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters, Bell System Technical Journal, Vol. 2 (1923), pp. 1–46.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Otto Julius Zobel
- Filtro (elettronica)
- Impedenza immagine
- Filtro a costante k
- Cella di Boucherot
- Equalizzatore dei ritardi con ponte a T
Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Rete zobel