Funzione translogaritmica

La translogaritmica (in inglese translog), che sta per logaritmica trascendente (transcendental logarithmic), è una particolare classe di funzioni, originariamente utilizzata da Berndt e Christensen (1973), che trova utilizzo in economia ed econometria come specificazione flessibile delle funzioni di utilità, produzione e costo.

La forma generale di una funzione translogaritmica è:

${\displaystyle \ \ln y=\beta _{0}+\sum _{i=1}^{N}\beta _{i}\ln x_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}\ln x_{i}\ln x_{j}}$ (1)

Tale classe di funzioni è detta flessibile perché permette l'analisi degli effetti che, dipendendo dalle derivate seconde, come le elasticità di sostituzione, vengono solitamente assunti dati e costanti nelle forme funzionali "classiche" quali la Cobb-Douglas e la CES.

La translogaritmica può essere vista anche come sviluppo in serie di Taylor al secondo ordine di una generica funzione:

${\displaystyle \ y=f(\mathbf {x} )}$

Infatti, trasformando in logaritmi otteniamo:

${\displaystyle \ \ln y=\ln f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

Ed esprimendo tutto in funzione dei logaritmi:

${\displaystyle \ \ln y=g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=h(\ln x_{1},\ln x_{2},\ldots ,\ln x_{n})}$

Sviluppando la funzione in serie di Taylor al secondo ordine attorno al punto ${\displaystyle \ \mathbf {x} =[1,1,\ldots ,1]}$ si ha:

${\displaystyle \ \ln y=h(\mathbf {0} )+\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\mathbf {0} )\ln x_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}h_{ij}(\mathbf {0} )\ln x_{i}\ln x_{j}+\varepsilon }$

dove:

${\displaystyle h_{i}(\mathbf {0} )=\left.{\frac {\partial h(\ln x_{1},\ln x_{2},\ldots ,\ln x_{n})}{\partial \ln x_{i}}}\right|_{\ln \mathbf {x} =\mathbf {0} }}$

${\displaystyle h_{ij}(\mathbf {0} )=\left.{\frac {\partial ^{2}h(\ln x_{1},\ln x_{2},\ldots ,\ln x_{n})}{\partial \ln x_{i}\partial \ln x_{j}}}\right|_{\ln \mathbf {x} =\mathbf {0} }}$

Poiché sia la funzione che le sue derivate, prime e seconde, valutate in uno stesso punto sono costanti, possiamo interpretarle come coefficienti e derivare la formulazione (1).

Nel caso in cui ${\displaystyle \ \gamma _{ij}=0}$ (con i,j = 1,2,...,N) la translogaritmica diventa:

${\displaystyle \ \ln y=\beta _{0}+\sum _{i=1}^{N}\beta _{i}\ln x_{i}}$

da cui:

${\displaystyle \ y=A\prod _{i=1}^{N}x_{i}^{\beta _{i}}}$

che è la forma generale di una Cobb-Douglas.

• Berndt, E. e Christensen, L. (1973), "The Translog Function and the Substitution of Equipment, Structures and Labor in U.S. Manufacturing, 1929-1968", Journal of Econometrics, 1, 81-114

• Funzione di produzione Cobb-Douglas
• Funzione di produzione CES
• Funzione di utilità