Claesson è nato e cresciuto calcisticamente nella sua città natale Värnamo. Sotto la supervisione di Jonas Thern, il club ha conquistato la promozione in Superettan, la seconda serie nazionale, anche grazie a giovani come Simon Thern, Lalawélé Atakora e lo stesso Claesson. L'anno seguente Claesson con la maglia dell'IFK Värnamo ha realizzato 13 gol in 29 partite, la prima rete la realizza pareggiando per 1-1 contro il Landskrona BolS, un altro gol lo mette a segno sconfiggendo per 3-1 vincendo contro il IF Brommapojkarna, con lo stesso risultato si conclude la vittoria ai danni dell'IK Brage dove Claesson segna una doppietta, si ripete poi nella sconfitta per 4-2 contro il J-Södra dove realizza altre due reti, l'ultimo gol invece riesce a segnarlo contro l'Hammarby decidendo il risultato per 1-0. Nonostante ciò la squadra è stata costretta a superare per gli spareggi per non tornare in Division 1.

A partire dalla stagione 2012 è diventato ufficialmente un giocatore dell'Elfsborg a fronte della firma di un contratto quadriennale.^[2] Ventenne, Claesson ha fatto parte della rosa che ha conquistato il titolo nel campionato svedese, la squadra supera di due punti la seconda arrivata, il Häcken, Claesson è stato determinante nel punteggio finale, segna la rete del 2-1 che consegna la vittoria sull'Helsingborgs IF, inoltre è autore del gol che fissa il punteggio per 3-2 battendo il Mjällby. Realizza undici reti nell'edizione 2015, apre le marcature battendo per 5-1 il Gefle, segna un gol sconfiggendo per 2-1 sia l'Helsingborgs IF che l'Åtvidaberg, insacca una rete nel successo per 4-2 contro il Falkenberg, inoltre è autore di una doppietta prevalendo per 3-2 ai danni dell' IFK Norrköping.

Segna otto gol nell'edizione 2016, realizza una rete battendo per 3-0 il Djurgårdens IF, segna un rigore sconfiggendo per 5-0 il Falkenbergs, il suo gol permette alla squadra di vincere per 1-0 contro l'Helsingborgs IF, inoltre con due reti e un assist batte per 3-1 l'Östersund.

Il 25 gennaio 2017 è stato ceduto in Russia, al Krasnodar, per circa 20 milioni di corone svedesi.^[3] All'esordio ufficiale con i russi, dopo solo quattro minuti di gioco, ha firmato la rete dell'1-0 che ha permesso al Krasnodar di battere il Fenerbahçe nell'andata dei sedicesimi di Europa League.^[4] Segna dieci reti nell'edizione 2017-2018 della Prem'er-Liga, realizza un gol contro l'Amkar e l'Anži Machačkala pareggiando per 1-1 entrambi i match, mette a segno il gol del 2-1 battendo lo Zenit, un'altra rete la segna battendo per 3-2 l'Achmat Groznyj, realizza il primo gol della partita nella vittoria per 4-1 ai danni del SKA-Khabarovsk, con lo stesso risultato si conclude la sconfitta contro lo Spartak Moskva dove Cleasson è ancora autore di una rete.

Claesson nell'edizione 2018-2019 del campionato ha segnato dodici reti, realizza il gol dell'1-0 sconfiggendo sua il Rubin Kazan' che il Kryl'ja Sovetov Samara, segna una rete pure contro l'Ural e il CSKA Mosca vincendo per 2-1 entrambe le partite, un altro gol lo realizza battendo per 3-0 l'Enisey Krasnojarsk, con lo stesso risultato si conclude il match vinto contro il Dinamo Mosca dove Claesson segna una doppietta, si è rivelato fondamentale per il raggiungimento del terzo posto in classifica. L'infortunio al legamento crociato rimediato con la nazionale nel giugno 2019, tuttavia, lo ha costretto a saltare l'intera stagione 2019-2020, visto che è tornato ufficialmente in campo solo nell'agosto 2020.^[5] Nell'autunno 2020 ha giocato le sue prime partite in una fase a gironi di UEFA Champions League.

Il 5 marzo 2022 ha rescisso il proprio contratto con il Krasnodar a seguito del conflitto tra Russia e Ucraina.^[6]

Il 31 marzo seguente si accasa coi danesi del Copenaghen.^[7]Vince la Superligaen segnando dodici reti, realizza il gol dell'1-0 battendo il Silkeborg, riesce a mettere a segno una rete nella vittoria per 3-1 contro il Brøndby, con il suo gol fissa il risultato sul 2-1 riuscendo a vincere contro il Viborg, segna una doppietta prima sconfiggendo per 3-1 l'Aalborg BK e poi battendo per 3-0 il Lyngby. Riesce a vincere la Coppa di Danimarca, nel match contro l'Hobro che si è concluso per 1-1 il Copenaghen vince ai rigori per 5-3, Claesson è il primo a segnare dal dischetto, nella vittoria contro il Vejle segna la rete del 2-0, mentre nella semifinale che vede come avversario il Nordsjælland è autore di una doppietta vincendo per 5-3.

Conquista la vittoria dell'edizione 2024-2025, segna in tutto sei gol, il primo perdendo per 3-2 contro il Nordsjælland, con una doppietta contribuisce a battere per 3-1 il Vejle, con lo stesso risultato si conclude la partita vinta contro l'AGF dove Claesson realizza una rete. Riesce a vincere la DBUs Landspokalturnering dove segna il gol del 2-1 vincendo contro il Sønderjysk, mentre nella vittoria contro il Viborg con il suo assist permette a Jordan Larsson di realizzare il gol dell'1-0.

• Campionato svedese: 1

Elfsborg: 2012

• Coppa di Svezia: 1

Elfsborg: 2013-2014

• Campionato danese: 2

Copenhagen: 2022-2023, 2024-2025

• Coppa di Danimarca: 2

Copenhagen: 2022-2023, 2024-2025