Generalizzazioni
[modifica | modifica wikitesto]La funzione W di Lambert fornisce soluzioni reali per le equazioni algebrico-trascendenti (in x) della forma:
dove a0, c e r sono costanti reali. La soluzione è . Le generalizzazioni della funzione W di Lambert[1] includono:
- Un'applicazione alla relatività generale e alla meccanica quantistica (gravità quantistica) in bassa dimensione; si tratta di un collegamento precedentemente sconosciuto (prima dell'articolo del 2007 di Farrugia, Mann e Scott[2]) tra queste due aree:
- dove il membro destro di (1) è un polinomio quadratico in x, e r1 e r2 sono costanti reali distinte, le radici del polinomio quadratico. In questo caso, la soluzione è una funzione di un solo argomento x, e i termini ri e ao sono parametri di tale funzione. Da questo punto di vista, la generalizzazione ricorda la funzione ipergeometriche e la funzione G di Meijer ma appartiene ad una diversa classe di funzioni. Quando r1 = r2, entrambi i membri di (2) possono essere fattorizzati e ridotti al caso (1); la soluzione, quindi, è quella della funzione W standard. L'equazione (2) descrive il campo di dilatone, dal quale deriva la metrica del problema di gravità a due corpi R=T o lineale in 1+1 dimensioni (una dimensione spaziale e una dimensione temporale) per il caso di masse a riposo diverse, come anche le energie nel modello quantistico unidimensionale di una doppia buca di potenziale, con potenziali a delta di Dirac, per cariche diverse.
- Soluzioni analitiche delle energie di un caso particolare del problema quantistico dei tre corpi, più precisamente la molecola di idrogeno ionizzata una volta [3]. In questo caso il membro destro di (1) (o (2)) è un quoziente di polinomi in x di grado infinito:
- dove ri e si sono costanti reali distinti e x è una funzione dell'energia e della distanza internucleare R. L'equazione (3), con i casi particolari (1) e (2), ha un ruolo in un'ampia classe di equazioni differenziali con ritardo.
Le applicazioni della funzione W di Lambert ai problemi di fisica fondamentale non sono esaurite neppure per il caso standard (1), come si è visto recentemente in fisica atomica, molecolare e ottica[4].
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ T.C. Scott e R.B. Mann, General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no. 1, (avril 2006), pp.41-47, [1]; articolo Arxiv[2]
- ^ P.S. Farrugia, R.B. Mann, e T.C. Scott, N-body Gravity and the Schrˆdinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [3]; articolo Arxiv [4]
- ^ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon e J. Grotendorst, New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [5]; articolo Arxiv[6]
- ^ T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini e J.D. Morgan III, The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [7]