Il bilancio della quantità di moto è la seconda equazione di bilancio della meccanica del continuo e costituisce riformulazione della prima equazione cardinale della dinamica:

La variazione di quantità di moto di un sistema è pari alla forza esterna che gli viene imposta

Il bilancio è basato sull'ipotesi del continuo e di omogeneità dello spazio.

Se è nulla la risultante delle forze esterne (vincolo di isolamento meccanico) si hanno unicamente forze interne; siccome per queste ultime vale il terzo principio della dinamica, risulta la legge di conservazione della quantita di moto:

"La quantità di moto di un sistema meccanicamente isolato è una costante del moto"

Questa ipotesi e la legge conseguente sono valide per molti fenomeni di urto fra corpi deformabili o esplosione.

Lo stesso argomento in dettaglio: Coordinate euleriane e lagrangiane.

Il bilancio della quantità di moto (definita come prodotto della massa per la velocità o, per unità di volume, della densità per la velocità) si enuncia in forma lagrangiana:

la forma corrispondente validaper i sistemi discreti è note come prima equazione cardinale della dinamica^[1]:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} {\bar {q}}}{\operatorname {d} t}}-{\bar {F}}=0}$

dove, appunto, con F si è indicata la forza esterna risultante. Questa non è tuttavia una forma generale che può essere esplicitata sia per un sistema continuo che per un sistema discreto, ma sarà necessario approfondire lo studio per enunciare una legge simile per il caso continuo (nel riferimento lagrangiano).

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni cardinali della dinamica § prima equazione cardinale.

Si supponga di avere un sistema costituito da corpi di massa ${\displaystyle m_{i}}$ e velocità ${\displaystyle {\bar {v}}_{i}}$. La quantità di moto del sistema è data da:

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}{\bar {v}}_{i}}$

Se si deriva la quantità di moto rispetto al tempo, si trova scomponendo le forze rispettivamente in una componente apparente, una di interazione con l'esterno e una di interazione interna:

${\displaystyle \sum _{i\in V}{\frac {\mathrm {d} m_{i}{\bar {v}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i\in V}{\bar {F}}_{Oxyz\rightarrow i}+\sum _{(i\in V,j\notin V)}{\bar {F}}_{j\rightarrow i}+\sum _{(i\in V,j\in V)}{\bar {F}}_{j\rightarrow i}=\sum _{i\in V}{\bar {F}}_{Oxyz\rightarrow i}+\sum _{(i\in V,j\notin V)}{\bar {F}}_{j\notin V\rightarrow i}}$

infatti il terzo principio della dinamica afferma che le interazioni sono mutue: ${\displaystyle {\bar {F}}_{i\rightarrow j}+{\bar {F}}_{j\rightarrow i}=0\quad \forall (i,j):i\neq j}$

Le forze apparenti vengono dalla non-inerzialità del sistema di riferimento e non da altri corpi quindi non possono riflettersi su altri corpi; le forze provenienti dall'interazione di corpi esterni e sistema considerato si riflettono per il terzo principio anche sui primi ma nel bilancio si considera solo l'azione esterna sul sistema, e non la reazione del sistema sull'esterno; invece per le forze provenienti dall'interazione di corpi interni al sistema con corpi del sistema stesso (a loro volta mutue nel caso di interazione tra corpi diversi, riflesse nel caso di interazioni tra un corpo e se stesso) nel bilancio si considera sia azione che reazione che per il terzo principio globalmente si annullano.

Le forze esterne che rimangono nel bilancio per un sistema non inerziale sono quindi le forze apparenti e le forze provenienti dall'interazione dinamica con l'esterno.

Se la massa dei corpi (come nel caso di punti materiali) non varia nel tempo, l'espressione si semplifica:

${\displaystyle ({\frac {\mathrm {d} m_{i}}{\mathrm {d} t}}=0\quad \forall i)\rightarrow \sum _{i\in V}m_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\bar {r}}_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}=\sum _{i\in V}{\bar {F}}_{Oxyz\rightarrow i}+\sum _{(i\in V,j\notin V)}{\bar {F}}_{j\notin V\rightarrow i}}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Boltzmann § Approssimazione del continuo.

Effettuando il prodotto tensoriale di una equazione del trasporto di tipo lineare come quella di Boltzmann, in forma euleriana^[2]:

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}+{\bar {v}}\cdot {\frac {\partial n}{\partial {\bar {r}}}}+{\bar {F}}\cdot {\frac {\partial n}{\partial {\bar {p}}}}-Q_{2}\,n({\bar {r}},{\bar {p}},{\bar {t}})=0}$

per la velocità (microscopica) del sistema, ed integrandola nel momento coniugato in modo che vi rimanga solo la dipendenza dalla coordinata coniugata ^[3]:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int n{\bar {v}}\operatorname {d} p+\int ({\bar {v}}\cdot {\frac {\partial n}{\partial {\bar {r}}}}){\bar {v}}\operatorname {d} p+{\bar {F}}\cdot \int {\frac {\partial n}{\partial {\bar {p}}}}\otimes {\bar {v}}\operatorname {d} p-\int Q_{2}\,n({\bar {r}},{\bar {p}},{\bar {t}}){\bar {v}}\operatorname {d} p=0}$

si verifica che il vettore collisionale è nullo, se vale la conservazione della quantità di moto in ogni collisione binaria:

${\displaystyle \int Q_{2}n({\bar {r}},{\bar {p}},t){\vec {v}}\operatorname {d} p=0}$

quindi in base alla definizione della densità nello spazio delle configurazioni come:

${\displaystyle \rho ({\bar {r}},t)=\int n({\bar {r}},{\bar {p}},t)\operatorname {d} p}$

e dell'operatore media integrale nello spazio dei momenti "< >"^[4]:

${\displaystyle \langle \cdot \rangle ={\frac {\int n\,\cdot \,\operatorname {d} p}{\int n\,\operatorname {d} p}}}$

tenendo conto della potenza generalizzata definibile come:

${\displaystyle P={\bar {F}}\cdot {\bar {v}}={\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial t}}\cdot {\frac {\partial {\bar {r}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\bar {r}}}}\cdot {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\bar {p}}}}}$

si può riesprimere il vettore dinamico definendo il vettore campo medio:

${\displaystyle {\bar {F}}\cdot \int {\frac {\partial n}{\partial {\bar {p}}}}{\bar {v}}\operatorname {d} p=-\int n{\bar {F}}\cdot {\frac {\partial {\bar {v}}}{\partial {\bar {p}}}}\operatorname {d} p=-\rho \langle {\frac {\partial P}{\partial {\bar {p}}}}\rangle }$

si può riesprimere il tensore cinetico definendo il tensore degli sforzi interni^[3]:

${\displaystyle \int ({\bar {v}}\cdot {\frac {\partial n}{\partial {\bar {r}}}}){\bar {v}}\operatorname {d} p={\frac {\partial }{\partial {\bar {r}}}}\cdot (\rho \langle {\bar {v}}\rangle \langle {\bar {v}}\rangle )+{\frac {\partial }{\partial {\bar {r}}}}\cdot \int n({\bar {v}}-\langle {\bar {v}}\rangle )\otimes ({\bar {v}}-\langle {\bar {v}}\rangle )\operatorname {d} p={\frac {\partial }{\partial {\bar {r}}}}\cdot (\rho \langle {\bar {v}}\rangle \langle {\bar {v}}\rangle +{\bar {\bar {\sigma }}})}$

Otterremo allora l'equazione di bilancio della quantità di moto in forma differenziale^[5]:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho \langle {\bar {v}}\rangle }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial {\bar {r}}}}\cdot (\rho \langle {\bar {v}}\rangle \langle {\bar {v}}\rangle )+{\frac {\partial }{\partial {\bar {r}}}}\cdot {\bar {\bar {\sigma }}}-\rho \langle {\frac {\partial P}{\partial {\bar {p}}}}\rangle =0}$

Si noti che l'equazione coinvolge la variabile velocità media nello spazio delle configurazioni, detta usualmente velocità macroscopica, in cui l'equazione risulta iperbolica, applicando la regola di Leibnitz^[5]:

${\displaystyle {\frac {\partial \langle {\bar {v}}\rangle }{\partial t}}+\langle {\bar {v}}\rangle \cdot {\frac {\partial }{\partial {\bar {r}}}}\langle {\bar {v}}\rangle +{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {r}}}}\cdot {\bar {\bar {\sigma }}}-\langle {\frac {\partial P}{\partial {\bar {p}}}}\rangle ={\bar {0}}}$

Si indicherà ora la derivata nella coordinata generalizzata sarà indicata conformemente alla consuetudine fluidodinamica col simbolo nabla^[6]:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho \langle {\bar {v}}\rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \langle {\bar {v}}\rangle \langle {\bar {v}}\rangle +{\bar {\bar {\sigma }}}\right)-\rho \langle {\frac {\partial P}{\partial {\bar {p}}}}\rangle =0}$

Quindi, in forma euleriana applicando il teorema della divergenza, e il teorema di Reynolds all'integrale di quantità di moto:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{M(t)}\langle {\bar {v}}\rangle \,\operatorname {d} m+\oint _{\partial V}\left(\rho \langle {\bar {v}}\rangle ^{T}\langle {\bar {v}}\rangle +{\bar {\bar {\sigma }}}\right)\cdot \operatorname {d} {\bar {r^{2}}}-\int _{M(t)}\langle {\frac {\partial P}{\partial {\bar {p}}}}\rangle \,\operatorname {d} m=0}$

dove il volume e la sua frontiera sono considerabili costanti del tempo. Si definiscono infine le forze di volume (come ad esempio la forza peso) e di contatto (quali ad esempio le forze viscose)^[7]:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{M(t)}\langle {\bar {v}}\rangle \,\operatorname {d} m+\oint _{\partial V}\rho \langle {\bar {v}}\rangle ^{T}\langle {\bar {v}}\rangle \cdot \operatorname {d} {\bar {r^{2}}}-\oint _{\partial V}{\frac {\operatorname {d} {\bar {F}}_{\partial V}}{\operatorname {d} {\bar {r^{2}}}}}\,\operatorname {d} {\bar {r^{2}}}-\int _{M(t)}{\frac {\operatorname {d} {\bar {F}}_{V}}{\operatorname {d} m}}\,\operatorname {d} m=0}$

se si riassumono i termini di forza^[7]:

${\displaystyle {\frac {\partial \langle {\bar {q}}\rangle }{\partial t}}+{\bar {I}}_{q}-{\bar {F}}=0}$

La legge di bilancio della quantità di moto per un corpo continuo in un sistema di riferimento euleriano può essere quindi enunciato come segue:

Si definisce derivata lagrangiana l'operatore della velocità macroscopica nel bilancio in forma locale^[8]:

${\displaystyle {\frac {D\langle {\bar {v}}\rangle }{Dt}}+{\frac {\nabla \cdot {\bar {\bar {\sigma }}}}{\rho }}-\langle {\frac {\partial P}{\partial {\bar {p}}}}\rangle ={\bar {0}}}$

Se è presente ad esempio solo un campo medio di tipo elettromagnetico bisogna introdurre l'accelerazione di Lorentz^[9]:

${\displaystyle {\frac {D\langle {\bar {v}}\rangle }{Dt}}+{\frac {\nabla \cdot ({\bar {\bar {\sigma }}}-{\bar {\bar {F}}})}{\rho }}+{\dfrac {1}{\rho c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial {\bar {S}}}{\partial t}}={\bar {0}}}$

dove c₀ è la velocità della luce nel vuoto ${\displaystyle {\bar {S}}}$ è il vettore di Poynting, e ${\displaystyle {\bar {\bar {F}}}}$ è il tensore elettromagnetico.

Se si integra l'equazione differenziale di bilancio nello spazio delle configurazioni, e si applica il teorema della divergenza all'ultimo integrale del bilancio lagrangiano della quantità di moto, sarà possibile scriverlo come integrale di superficie.:

${\displaystyle \int _{M}\left({\frac {D\langle {\bar {v}}\rangle }{Dt}}-\langle {\frac {\partial P}{\partial {\bar {p}}}}\rangle \right)\,\operatorname {d} m+\oint _{\partial V(t)}{\bar {\bar {\sigma }}}\,\operatorname {d} {\bar {r^{2}}}=0}$

Questi integrali possono valere per qualsiasi arbitrario volume se appartiene alla prima classe di continuità: l'integrando nullo in un punto di continuità del dominio al limite comporta che l'integrale sia nullo in un intorno di quel punto sufficientemente piccolo.

Il primo membro invece può essere trasformato in forma più conveniente mediante il teorema di Reynolds e la legge di conservazione della massa in forma differenziale, che rende nullo il sottraendo:

${\displaystyle \int _{V(t)}\rho {\frac {D\langle {\bar {v}}\rangle }{Dt}}\,dr^{3}={\frac {D}{Dt}}\int _{V(t)}\rho \langle {\bar {v}}\rangle \,\operatorname {d} r^{3}-\int _{V(t)}\langle {\bar {v}}\rangle \left({\frac {D\rho }{Dt}}+\rho \nabla \cdot \langle {\bar {v}}\rangle \right)\,dr^{3}={\frac {D}{Dt}}\int _{V(t)}\rho \langle {\bar {v}}\rangle \,\operatorname {d} r^{3}}$

Quindi l'equazione diventa:

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\int _{V(t)}\rho \langle {\bar {v}}\rangle \,\operatorname {d} r^{3}=\int _{V(t)}\rho \langle {\frac {\partial P}{\partial {\bar {p}}}}\rangle \,\operatorname {d} r^{3}+\oint _{\partial V(t)}-{\bar {\bar {\sigma }}}\,\operatorname {d} {\bar {r^{2}}}}$

Si riassumono infine le forze di volume (come ad esempio la forza peso) e di contatto (quali ad esempio le forze viscose):

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\int _{M}\langle {\bar {v}}\rangle \,\operatorname {d} m=\int _{M}{\frac {\operatorname {d} {\bar {F}}_{V}}{\operatorname {d} m}}\,\operatorname {d} m+\oint _{\partial V(t)}{\frac {\operatorname {d} {\bar {F}}_{\partial V}}{\operatorname {d} {\bar {r^{2}}}}}\,\operatorname {d} {\bar {r^{2}}}}$

e si verifica come nella forma lagrangiana implicita si abbia una legge che generalizza a tutti i sistemi cinetici Boltzmanniani la prima equazione cardinale della dinamica newtoniana, dove però la componente della quantità di moto considerata è soltanto quella macroscopica^[10]:

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\langle {\bar {q}}\rangle -{\bar {F}}={\bar {0}}}$

quindi :${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\langle {\bar {q}}\rangle ={\frac {\partial }{\partial t}}\langle {\bar {q}}\rangle +{\bar {I}}_{V}}$

dove :${\displaystyle {\bar {I}}_{V}+{\bar {F}}_{\partial V}={\bar {I}}_{q}}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Approssimazione di Chapman-Enskog.

Si riportano qui la approssimazione di Eulero:

${\displaystyle {\frac {D\langle {\bar {v}}\rangle }{Dt}}+{\frac {\nabla p}{\rho }}-\langle {\bar {a}}\rangle ={\bar {0}}}$,

che si ottiene inserendo la legge di Pascal:

${\displaystyle {\bar {\bar {\sigma }}}=p{\bar {\bar {1}}}}$

e la approssimazione successiva di Navier:

${\displaystyle {\frac {D\langle {\bar {v}}\rangle }{Dt}}+{\frac {\nabla p}{\rho }}-d_{q}\nabla ^{2}\langle {\bar {v}}\rangle -{\frac {1}{3\rho }}{(\nabla \cdot \langle {\bar {v}}\rangle )\nabla \mu }-\langle {\bar {a}}\rangle ={\bar {0}}}$

che si ottiene inserendo la legge di Stokes:

${\displaystyle {\bar {\bar {\sigma }}}=p{\bar {\bar {1}}}-2\mu ({\bar {\bar {\epsilon }}}-{\frac {1}{3}}\nabla \cdot \langle v\rangle {\bar {\bar {1}}})}$.

• (EN) James J. Duderstadt, William R. Martin, Transport theory, New York, Wiley-Interscience Publications, 1979, ISBN 978-0471044925., cap. 4: The derivation of continuum description from trasport equations
• (EN) Neil E. Todreas, Mujid S. Kazimi, Nuclear Systems, New York, Taylor & Francis, 1990, ISBN 978-1560320517., vol. 1: Thermal Hydraulic Fundamentals, cap. 4: Trasport equations for single-phase flow

• Bilancio di energia meccanica
• Bilancio (fenomeni di trasporto)
• Equazione di bilancio
• Conservazione della massa
• Bilancio di energia interna
• Legge di conservazione del momento angolare
• Legge di conservazione dell'energia
• Equazioni di Eulero (fluidodinamica)
• Equazioni di Navier-Stokes
• Teorema di Noether

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