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In matematica, il teorema di rappresentazione dei numeri reali o teorema di rappresentazione in base consente di rappresentare un numero reale utilizzando numeri interi.

Il teorema afferma che dato un numero reale ${\displaystyle x}$ e un numero intero ${\displaystyle \beta }$, detto base, si può rappresentare ${\displaystyle x}$ come:

${\displaystyle x=\operatorname {sgn} (x)(c_{1}\beta ^{-1}+c_{2}\beta ^{-2}+\dots +c_{p}\beta ^{-p})\beta ^{p}=\operatorname {sgn} (x)\beta ^{p}\sum _{i=1}^{p}c_{i}\beta ^{-i}=\operatorname {sgn} (x)m\beta ^{p}}$

dove:

• ${\displaystyle \operatorname {sgn} (x)}$ è la funzione segno:

${\displaystyle \operatorname {sgn} (x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}x>0\\0,&{\mbox{se }}x=0\\-1,&{\mbox{se }}x<0\end{matrix}}\right.}$

• Il numero intero ${\displaystyle p}$ è detto esponente o caratteristica di ${\displaystyle x}$

• I numeri interi ${\displaystyle c_{i}}$ sono detti cifre, con ${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq \beta -1}$. Nel caso di rappresentazione normalizzata ${\displaystyle c_{1}\neq 0}$, mentre nel caso in cui esista un indice ${\displaystyle k}$ tale che ${\displaystyle c_{k}\neq 0{\mbox{ e }}c_{i}=0}$ per ${\displaystyle i>k}$ la rappresentazione si dice rappresentazione finita di lunghezza ${\displaystyle k}$.

• Il numero:

${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{p}c_{i}\beta ^{-i}\qquad {\frac {1}{\beta }}\leq m<1}$

è detto mantissa di ${\displaystyle x}$, mentre ${\displaystyle \beta ^{p}}$ è detta parte esponente di ${\displaystyle x}$.

Se si scartano le rappresentazioni in cui si abbia, definitivamente in ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle c_{i}=\beta -1}$, e se ${\displaystyle x\neq 0}$ la rappresentazione normalizzata è unica.

Il numero reale ${\displaystyle x}$ può essere rappresentato nella base ${\displaystyle \beta }$ attraverso la notazione posizionale o la notazione mista. Ad esempio, il numero reale ${\displaystyle \alpha }$ di nome quattrocentocinque rappresentato in base ${\displaystyle \beta =10}$ diventa:

${\displaystyle \alpha =+(4\times 10^{-1}+0\times 10^{-2}+5\times 10^{-3})10^{3}}$

con:

${\displaystyle c_{1}=4,{\mbox{ }}c_{2}=0,{\mbox{ }}c_{3}=5;}$ e ${\displaystyle p=3}$

• George E. Andrews, The Number Theory, Courier Dover Publications, 1971, p. 8.

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