In matematica, il teorema di rappresentazione dei numeri reali o teorema di rappresentazione in base consente di rappresentare un numero reale utilizzando numeri interi.
Il teorema afferma che dato un numero reale
e un numero intero
, detto base, si può rappresentare
come:
![{\displaystyle x=\operatorname {sgn} (x)(c_{1}\beta ^{-1}+c_{2}\beta ^{-2}+\dots +c_{p}\beta ^{-p})\beta ^{p}=\operatorname {sgn} (x)\beta ^{p}\sum _{i=1}^{p}c_{i}\beta ^{-i}=\operatorname {sgn} (x)m\beta ^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48e9fe4414be1c3e0b9f8fedcdb3f2fd6cfab6b)
dove:
è la funzione segno:
![{\displaystyle \operatorname {sgn} (x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}x>0\\0,&{\mbox{se }}x=0\\-1,&{\mbox{se }}x<0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d491741394932099f77748d775283496bba9848e)
- Il numero intero
è detto esponente o caratteristica di ![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
- I numeri interi
sono detti cifre, con
. Nel caso di rappresentazione normalizzata
, mentre nel caso in cui esista un indice
tale che
per
la rappresentazione si dice rappresentazione finita di lunghezza
.
![{\displaystyle m=\sum _{i=1}^{p}c_{i}\beta ^{-i}\qquad {\frac {1}{\beta }}\leq m<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f3b867554bcc12acb5b55c352f62a5f11b1da4)
- è detto mantissa di
, mentre
è detta parte esponente di
.
Se si scartano le rappresentazioni in cui si abbia, definitivamente in
,
, e se
la rappresentazione normalizzata è unica.
Il numero reale
può essere rappresentato nella base
attraverso la notazione posizionale o la notazione mista. Ad esempio, il numero reale
di nome quattrocentocinque rappresentato in base
diventa:
![{\displaystyle \alpha =+(4\times 10^{-1}+0\times 10^{-2}+5\times 10^{-3})10^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934ac152a278750673f4c248086e73af65e13b2a)
con:
e ![{\displaystyle p=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37be793795be56f61768c16dd72a1db0569fb14)