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In meccanica classica, il teorema del viriale è una proposizione che lega la media temporale dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un sistema stabile di N particelle, e che ha importanti risvolti in diverse branche della fisica.

La prima formulazione del teorema è dovuta a Rudolf Clausius, nel 1870. Il nome viriale deriva dal latino vis che significa forza o energia.

Il teorema del viriale afferma che in un sistema di N particelle che si muovono in una regione limitata di spazio, la cui energia cinetica totale sia ${\displaystyle T}$, vale la relazione

${\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle =-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle }$

dove le parentesi indicano la media temporale ed ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ rappresenta la forza che agisce sulla k-esima particella, situata nella posizione ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$.

Se l'energia potenziale del sistema è una funzione omogenea di grado n delle coordinate, ovvero della forma

${\displaystyle U(r)=\alpha r^{n}\ }$

cioè proporzionale ad una potenza n della distanza media r tra le particelle, allora il teorema assume la forma

${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle U\rangle }$

dove l'energia potenziale totale media ${\displaystyle \left\langle U\right\rangle }$ è la somma dell'energia potenziale tra ogni coppia di particelle.

Nel caso particolare di un potenziale gravitazionale, proporzionale al reciproco della distanza, si ha che

${\displaystyle 2\langle T\rangle =-\langle U\rangle }$

dove U è l'energia potenziale gravitazionale.

Per dimostrare il teorema si consideri un sistema di masse ${\displaystyle m_{i}}$ ognuna indicata da un raggio vettore ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ riferito ad una certa origine. Sia ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ la forza agente sulla massa i-esima. Indicando con ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$ la quantità di moto della massa i-esima, allora

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}^{2}}$

L'ultima somma, che si denota con ${\displaystyle I}$, è pari a metà della traccia del tensore d'inerzia, che corrisponde al momento d'inerzia per un problema bidimensionale, rispetto all'origine del sistema di masse. Derivando questa espressione si ottiene:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=\sum _{i}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\cdot \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {p} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}+2T}$

Dove si è usata la relazione classica ${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} _{i}=\mathbf {F} _{i}}$. Indicata con ${\displaystyle \mathbf {F} _{ij}}$ la forza esercitata dalla massa i-esima sulla massa j-esima e tenuto conto della natura gravitazionale delle forze

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \sum _{j\neq i}\mathbf {F} _{ij}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \sum _{j\neq i}Gm_{i}m_{j}{\frac {\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}}{r_{ij}^{3}}}=\sum _{j>i}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}^{3}}}[\mathbf {r} _{i}\cdot (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})+\mathbf {r} _{j}\cdot (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})]=}$

${\displaystyle =\sum _{j>i}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})=-\sum _{j>i}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}}}}$

L'ultima espressione è quindi semplicemente U, l'energia potenziale gravitazionale totale del sistema di masse.

Siamo quindi giunti alla seguente espressione:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+U}$

ed il teorema si ottiene quindi mediando entrambi i membri. Vista l'ipotesi di limitatezza dei moti, la media del primo membro è nulla, infatti il valor medio di una qualunque funzione del tempo ${\displaystyle f(t)}$ è definito come

${\displaystyle {\bar {f}}=\lim \limits _{T\to +\infty }{1 \over T}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)}dt}$

Se ${\displaystyle f(t)}$ è una derivata rispetto al tempo ${\displaystyle f\left(t\right)={{dF\left(t\right)} \over {dt}}}$ di una funzione limitata ${\displaystyle F(t)}$ risulta

${\displaystyle {\bar {f}}=\lim \limits _{T\to +\infty }{1 \over T}\int _{0}^{T}{{dF\left(t\right)} \over {dt}}dt=\lim \limits _{T\to +\infty }{{F\left(T\right)-F\left(0\right)} \over T}=0}$

Poiché l'energia cinetica ${\displaystyle T}$ è una funzione quadratica delle velocità, si ha, per il Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee

${\displaystyle \sum \limits _{i}{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\cdot \mathbf {v} _{i}=2T}$

se ora introduciamo gli impulsi

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\mathbf {p} _{i}}$

e le rispettive derivate rispetto al tempo conformemente alle equazioni di Newton

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} _{i}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}}$

si ottiene

${\displaystyle 2T=\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot }\mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}\left({\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}}}\right)-\sum \limits _{i}{\mathbf {r} _{i}}\cdot \mathbf {\dot {p}} _{i}={\frac {d}{dt}}\left({\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}}}\right)+\sum \limits _{i}{\mathbf {r} _{i}}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}}$

in virtù del Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee risulta

${\displaystyle nU=\sum \limits _{i}{\mathbf {r} _{i}}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}}$

mentre per l'ipotesi di limitatezza dei moti il valor medio rispetto al tempo del termine

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}}}\right)}$

è nullo. Da ciò segue l'asserto

${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle U\rangle }$

che nel caso gravitazionale, in cui ${\displaystyle n=-1}$, si riduce all'enunciato particolare.

Anche in Meccanica Quantistica si ha una variante del teorema del viriale classico.

Denominando con ${\displaystyle |E\rangle }$ un autostato relativo all'autovalore ${\displaystyle E}$ dell'hamiltoniana

${\displaystyle H=T(\mathbf {p} )+U(\mathbf {q} )}$

dove l'energia cinetica ${\displaystyle T(\mathbf {p} )}$ è sempre una funzione dei quadrati degli impulsi e l'energia potenziale ${\displaystyle U(\mathbf {q} )}$ è ancora una funzione omogenea di grado ${\displaystyle n}$ delle coordinate ${\displaystyle \mathbf {q} }$, si ha:

${\displaystyle 2\langle E|T|E\rangle =n\langle E|U|E\rangle }$

In questa dimostrazione, per comodità di scrittura, utilizzeremo la convenzione di Einstein secondo la quale, quando ci sono due indici ripetuti, si sottintende una sommatoria sugli indici stessi, ad esempio:

${\displaystyle q_{i}p_{i}\equiv \sum \limits _{i}{q_{i}p_{i}}}$

Per la dimostrazione è utile dimostrare preliminarmente la seguente uguaglianza:

${\displaystyle \langle E|[{q}_{i}{p}_{i},H]|E\rangle =0}$.

Infatti, ricordando che ${\displaystyle \langle E|H=E\langle E|}$, vale:

${\displaystyle \langle E|[{q}_{i}{p}_{i},H]|E\rangle =\langle E|({q}_{i}{p}_{i}H-H{q}_{i}{p}_{i})|E\rangle =E\langle E|{q}_{i}{p}_{i}|E\rangle -E\langle E|{q}_{i}{p}_{i}|E\rangle =0}$

Possiamo ora dimostrare la versione quantistica del teorema del viriale:

${\displaystyle 0=\langle E|[{q}_{i}{p}_{i},H]|E\rangle =\langle E|{q}_{i}[{p}_{i},H]|E\rangle +\langle E|[{q}_{i},H]{p}_{i}|E\rangle =\langle E|{q}_{i}[{p}_{i},U]|E\rangle +\langle E|[{q}_{i},T]{p}_{i}|E\rangle }$

dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che

${\displaystyle \left[{q_{i},U\left({\mathbf {q} }\right)}\right]=\left[{p_{i},T\left({\mathbf {p} }\right)}\right]=0}$

Dalle proprietà del commutatore posizione-momento segue che

${\displaystyle \left[{q_{i},T\left({\mathbf {p} }\right)}\right]=i\hbar {\frac {\partial T}{\partial p_{i}}}}$

${\displaystyle \left[{p_{i},U\left({\mathbf {q} }\right)}\right]=-i\hbar {\frac {\partial U}{\partial q_{i}}}}$

e di nuovo dal teorema di Eulero sulle funzioni omogenee segue

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial p_{i}}}p_{i}=2T}$

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial q_{i}}}q_{i}=nU}$

Mettendo tutto insieme si ottiene

${\displaystyle -i\hbar \langle E|nU|E\rangle +i\hbar \langle E|2T|E\rangle =0}$

da cui l'enunciato

${\displaystyle 2\langle E|T|E\rangle =n\langle E|U|E\rangle }$

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