In analisi funzionale il teorema del valore iniziale permette di determinare il valore asintotico iniziale di una funzione partendo dalla sua trasformata di Laplace. Nello specifico, data una funzione ${\displaystyle f}$ di classe ${\displaystyle C^{1}}$, causale (cioè nulla per ${\displaystyle t<0}$) e con ascissa di convergenza ${\displaystyle A\leq 0}$, si ha, nell'ipotesi che esista finito il limite ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0^{+}}f(t)}$:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0^{+}}f(t)=\lim _{Re(s)\rightarrow \infty }sF(s)}$

Il teorema del valore finale riguarda invece il valore asintotico finale, e stabilisce che, nell'ipotesi che esista finito il limite ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }f(t)}$:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }f(t)=\lim _{s\rightarrow 0}sF(s)}$

Questi risultati hanno notevoli applicazioni in elettronica, in particolare nello studio delle reti lineari.

(Dimostrazione semplificata nel caso in cui f' sia integrabile) Dall'integrale di Laplace si ottiene:

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=\lim _{a\rightarrow 0;b\rightarrow \infty }\left[-f(t){\frac {e^{-st}}{s}}\right]_{a}^{b}+{\frac {1}{s}}\int _{0}^{\infty }{\frac {df}{dt}}e^{-st}dt}$

da cui:

${\displaystyle F(s)={\frac {f(0^{+})}{s}}+{\frac {1}{s}}\int _{0}^{\infty }{\frac {df}{dt}}e^{-st}dt}$

Moltiplicando per ${\displaystyle s}$ e passando al limite per ${\displaystyle s}$ che tende a infinito si arriva a:

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow \infty }sF(s)=f(0^{+})+\lim _{s\rightarrow \infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {df}{dt}}e^{-st}dt=f(0^{+})+\int _{0}^{\infty }{\frac {df}{dt}}[\lim _{s\rightarrow \infty }e^{-st}]dt=f(0^{+})}$

mentre passando al limite per ${\displaystyle s}$ che tende a zero:

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 0}sF(s)=f(0^{+})+\int _{0}^{\infty }{\frac {df}{dt}}dt=f(0)+f(\infty )-f(0)=f(\infty )}$

• (EN) Robert H. Cannon, Dynamics of Physical Systems, Courier Dover Publications, 2003, page 567.
• (EN) Robert H., Jr. Cannon, Dynamics of Physical Systems, Courier Dover Publications, 4 maggio 2012, p. 569, ISBN 978-0-486-13969-2.

• Rete lineare
• Trasformata di Laplace

• (EN) Initial and Final Value Theorems, su fourier.eng.hmc.edu. URL consultato il 22 giugno 2015 (archiviato dall'url originale il 26 dicembre 2017).

Portale Controlli automatici

Portale Matematica