In matematica, una soluzione fondamentale per un operatore differenziale lineare alle derivate parziali ${\displaystyle L}$ è una formulazione nel più recente linguaggio delle distribuzioni della precedente idea di funzione di Green.

Si tratta della soluzione ${\displaystyle F(x,y)}$ di un'equazione differenziale lineare ${\displaystyle Lf(x)=0}$ (avente come coefficienti funzioni lisce) che soddisfa:

${\displaystyle LF(x,y)=\delta (x-y)\qquad y\neq x}$

dove ${\displaystyle \delta (x)}$ è la delta di Dirac, ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$ è fissato e ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Ogni equazione a coefficienti costanti ammette una soluzione fondamentale, e dunque ogni equazione ellittica.

Nella teoria dei segnali, l'analogo della soluzione fondamentale di un'equazione differenziale è la risposta impulsiva di un filtro.

Si consideri ${\displaystyle Lf=\sin(x)}$ con:

${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$

La soluzione fondamentale può essere ottenuta risolvendo ${\displaystyle LF=\delta (x)}$, ovvero:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}F(x)=\delta (x)}$

Dal momento che:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}H(x)=\delta (x)}$

dove ${\displaystyle H}$ è la funzione gradino di Heaviside, si ha una soluzione:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=H(x)+C}$

con ${\displaystyle C}$ una costante arbitraria. Per convenienza, si pone ${\displaystyle C=-1/2}$.

Dopo aver integrato ${\displaystyle dF/dx}$, ponendo nulla la nuova costamte di integrazione si ha:

${\displaystyle F(x)=xH(x)-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{2}}|x|}$

Si può allora trovare la soluzione dell'equazione di partenza facendo la convoluzione di ${\displaystyle \sin(x)}$ con la soluzione fondamentale ${\displaystyle F(x)=|x|/2}$:

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2}}|x-y|\sin(y)dy}$

• (EN) A. Friedman, Partial differential equations of parabolic type, Prentice-Hall (1964)
• (EN) O.A. Ladyzhenskaya, N.N. Ural'tseva, "Linear and quasilinear elliptic equations" , Acad. Press (1968)
• (EN) O.A. Ladyzhenskaya, V.A. Solonnikov, N.N. Ural'tseva, "Linear and quasilinear parabolic equations" , Amer. Math. Soc. (1968)

• Delta di Dirac
• Distribuzione (matematica)
• Equazione differenziale alle derivate parziali
• Funzione di Green
• Risposta impulsiva

• (EN) Soluzione fondamentale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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