In matematica, i simboli 6j (o 6-j), detti anche simboli di Wigner 6j, si riferiscono ai valori assunti da una funzione di sei variabili che possono assumere valori interi o semiinteri (0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ...).
Sono stati introdotti da Eugene Paul Wigner nel 1940, e pubblicati nel 1965.
Vengono in utilizzati in teoria dei gruppi (nello studio delle rappresentazioni del gruppo delle rotazioni) e nella teoria del momento angolare (in particolare nella meccanica quantistica).
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Essi sono strettamente collegati con i coefficienti W di Racah e si possono definire come
Relazioni di simmetria
[modifica | modifica wikitesto]I simboli 6j, rispetto ai coefficienti W di Racah hanno il vantaggio di una maggiore simmetria. Essi sono invarianti per tutti gli scambi di due colonne:
Essi inoltre sono invarianti per lo scambio degli argomenti superiori di una qualsiasi coppia di colonne con i corrispondenti argomenti inferiori
Il simbolo 6j
è diverso da 0 se e solo se , e soddisfano la disuguaglianza triangolare
Questa condizione combinata con le proprietà di simmetria comporta che la disuguaglianza triangolare deve essere soddisfatta anche dalle terne , e .
Valori particolari
[modifica | modifica wikitesto]Quando il simbolo 6j viene dato dall'espressione:
Qui si usa la funzione uguale ad 1 se la terna soddisfa la disuguaglianza triangolare, uguale a 0 altrimenti. Le relazioni di simmetria consentono di trovare le espressioni per gli altri simboli 6j con un argomento nullo.
Relazione di ortogonalità
[modifica | modifica wikitesto]Vale la seguente relazione di ortogonalità, collegata alla interpretazione dei simboli come coefficienti di cambiamenti di base per uno spazio di rappresentazione del gruppo delle rotazioni:
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- L. C. Biedenharn, van Dam, H., Quantum Theory of Angular Momentum: A collection of Reprints and Original Papers, New York, Academic Press, 1965, ISBN 0-12-096056-7.
- A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 1957, ISBN 0-691-07912-9.
- Edward U. Condon, Shortley, G. H., Chapter 3, in The Theory of Atomic Spectra, Cambridge, Cambridge University Press, 1970, ISBN 0-521-09209-4.
- Leonard C. Maximon, 3j,6j,9j Symbols, in Frank W. J. Olver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert e Charles W. Clark (a cura di), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255. URL consultato il 13 settembre 2017 (archiviato dall'url originale il 27 maggio 2010).
- Albert Messiah, Quantum Mechanics (Volume II), 12th, New York, North Holland Publishing, 1981, ISBN 0-7204-0045-7.
- D. M. Brink, Satchler, G. R., Chapter 2, in Angular Momentum, 3rd, Oxford, Clarendon Press, 1993, ISBN 0-19-851759-9.
- Richard N. Zare, Chapter 2, in Angular Momentum, New York, John Wiley, 1988, ISBN 0-471-85892-7.
- L. C. Biedenharn, Louck, J. D., Angular Momentum in Quantum Physics, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1981, ISBN 0-201-13507-8.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) 6j Symbols, Wolfram Research, su mathworld.wolfram.com.
- Calcolatore esatto di Antony Stone per i coefficienti di Wigner, su www-stone.ch.cam.ac.uk.
- Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator, su volya.net. URL consultato il 22 settembre 2009 (archiviato dall'url originale il 20 dicembre 2012).
- 369j-symbol calculator presso il Plasma Laboratory del Weizmann Institute of Science