In matematica, la risoluzione all'identità è una formula che ha importanti risvolti pratici nell'algebra lineare e nell'analisi funzionale, in particolare nella risoluzione di problemi legati a spazi vettoriali dotati di una base ortonormale.
La relazione
[modifica | modifica wikitesto]Sia un operatore autoaggiunto ed un insieme di Borel. Detta la funzione indicatrice di , allora è una proiezione autoaggiunta su , e la risoluzione all'identità:
è una misura a valori di proiettore per . Se è ambientato in uno spazio di Hilbert , la misura di rispetto a è l'operatore identità su .
Adoperando la notazione di Dirac, in cui rappresentano vettori in e covettori (cioè funzionali lineari) nello spazio duale , è possibile rappresentare ogni vettore nella forma:
dove l'insieme di vettori è una base ortonormale di tale spazio rispetto al prodotto hermitiano definito su . La normalizzazione è data da:[1]
In particolare, essendo la base ortonormale, si ha che:
dove è la delta di Kronecker. La risoluzione all'identità è data dalla relazione di completezza:
dove è l'identità su di dimensione .
In uno spazio di Hilbert allargato, di dimensione infinita (e non numerabile), si scrive:
dove l'integrale è esteso su tutto l'insieme di variabilità delle .
Dimostrazione
[modifica | modifica wikitesto]Per la linearità del prodotto hermitiano, dato un qualunque vettore:
vale la proprietà:
Si può dunque scrivere l'identità:
da cui discende
dove è la funzione nulla su , cioè la tesi.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Per la sesquilinearità del prodotto hermitiano, il numero è reale per ogni vettore .
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- F. Riesz, B. Szökefalvi-Nagy, Functional analysis , F. Ungar (1955)
- N.I. Akhiezer, I.M. Glazman, Theory of linear operators in a Hilbert space , 1–2 , F. Ungar (1961–1963)
- L.V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functional analysis in normed spaces , Pergamon (1964)
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Funzione identità
- Identità (matematica)
- Matrice identità
- Misura a valori di proiettore
- Operatore autoaggiunto
- Proiezione (geometria)
- Teoria spettrale
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) V.I. Sobolev, Resolution of the identity, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.