In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, il raggio di iniettività è un numero reale positivo che misura il "grado di collassamento" di una varietà riemanniana in un punto o globalmente.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Sia una varietà riemanniana. Per ogni punto di è definita la mappa esponenziale
su un insieme aperto dello spazio tangente in , contenente l'origine.
Sullo spazio tangente è definito un prodotto scalare, dato dal tensore metrico della varietà. Risulta quindi definita la palla di raggio centrata nell'origine
Il raggio di iniettività di in è il massimo tale che la mappa
è iniettiva. Viene spesso indicato con
Il raggio di iniettività di è quindi definito come l'estremo inferiore di tutti i raggi di iniettività nei punti:
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]Raggio locale positivo
[modifica | modifica wikitesto]Il differenziale di è invertibile. Per il teorema di invertibilità locale, la funzione è quindi un diffeomorfismo locale nell'origine: il raggio di iniettività è quindi strettamente positivo in ogni punto .
Geodetiche
[modifica | modifica wikitesto]Se la varietà è completa, il raggio di iniettività è pari a metà della minima lunghezza di una geodetica chiusa passante per .
Compattezza e raggio globale
[modifica | modifica wikitesto]Se la varietà è compatta, il raggio di iniettività globale è maggiore di zero. Qualsiasi geodetica chiusa ha quindi lunghezza maggiore di .
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
- G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di Geometria Differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
- Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
- Luigi Bianchi Lezioni di geometria differenziale (3 vol.)[collegamento interrotto] (Pisa: E. Spoerri, 1922)
- Arrigo Amadori (2009): Il viaggio perfetto - come diventare esploratori di superfici, [1]
- (EN) George Salmon A treatise on the analytic geometry of three dimensions[collegamento interrotto] (Dublin: Hodges-Smith, 1862)
- (EN) Luther Pfahler Eisenhart A treatise on the differential geometry of curves and surfaces (Boston: Ginn & co., 1909)
- (EN) Barrett O'Neill (1997): Elementary differential Geometry, 2nd edition, Academic Press, ISBN 0-12-526745-2
- (EN) Peter Petersen (1997): Riemannian Geometry, Springer, ISBN 0-387-98212-4
- (EN) Richard W. Sharpe (1997): Differential geometry. Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer, ISBN 0-387-94732-9
- (EN) Jürgen Jost (1998): Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 2nd edition, Springer, ISBN 3-540-63654-4
- (FR) Gaston Darboux Cours de Géometrie[collegamento interrotto] (Parigi: Gauthier-Villars, 1894-1917)
- (FR) Gaston Darboux Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal (4 vols.)[collegamento interrotto] (Paris: Gauthier-Villars, 1887-1896)