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In algebra, il prodotto libero di due gruppi e è un nuovo gruppo, generalmente indicato con
Tale gruppo è costruito prendendo tutte le parole aventi come lettere degli elementi in e in , considerate a meno di semplici operazioni.
La nozione di gruppo libero è importante in topologia, perché riflette (tramite il gruppo fondamentale) l'operazione (detta bouquet) che consiste nell'attaccare due spazi topologici per un punto.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Siano e due gruppi. Una parola in e è una successione finita di elementi
dove ciascun è un elemento di o di .
Il prodotto libero è definito come l'insieme formato da tutte le parole di questo tipo, considerate però a meno di una relazione di equivalenza. Due parole sono equivalenti se sono ottenute l'una dall'altra tramite un numero finito di mosse del seguente tipo:
- rimozione della lettera , elemento neutro di o di ;
- sostituzione di una coppia di lettere consecutive appartenenti allo stesso gruppo o con l'elemento ""
- l'inversa di una delle due mosse precedenti.
La definizione di prodotto libero è quindi la seguente.
Il prodotto libero è l'insieme di tutte le parole in e , considerate a meno di equivalenza. L'operazione di gruppo è il concatenamento delle parole.
Il concatenamento di due parole
è la parola
Questa operazione risulta essere effettivamente ben definita e soddisfa gli assiomi di gruppo. L'elemento neutro è la parola vuota, o equivalentemente formata da una sola lettera, elemento neutro di oppure . L'elemento inverso di una parola
è la parola
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]Presentazioni
[modifica | modifica wikitesto]Se i due gruppi e sono descritti tramite presentazioni come
dove e sono rispettivamente insiemi di generatori e relazioni, allora
In altre parole, una presentazione per il prodotto libero è costruita unendo le due presentazioni.
Associatività e commutatività
[modifica | modifica wikitesto]I prodotti liberi
sono naturalmente isomorfi (effettivamente, sono proprio lo stesso gruppo). Si può quindi dire che l'operazione è commutativa. Tale operazione è anche associativa, nel senso che i gruppi
sono isomorfi. Si possono quindi omettere le parentesi e parlare più in generale di prodotto libero fra gruppi
L'operazione ha anche un elemento neutro, il gruppo banale: infatti i gruppi
sono isomorfi. Non esiste però l'elemento inverso per : dato un gruppo , non è possibile trovare un gruppo per cui è il gruppo banale, perché la sua cardinalità è grande almeno quanto quella di .
Rappresentante ridotto
[modifica | modifica wikitesto]Ogni elemento di un prodotto libero si esprime in modo unico come parola ridotta, ovvero come parola
in cui valgono le proprietà seguenti:
- due lettere consecutive appartengono a gruppi distinti,
- nessun è elemento neutro di o di .
Ogni parola può essere portata in forma ridotta facilmente con le mosse seguenti:
- se due lettere consecutive appartengono allo stesso gruppo, sostituire la coppia con la lettera definita come l'elemento ;
- se un è un elemento neutro, rimuoverlo.
La parola ridotta che rappresenta l'elemento neutro è la parola vuota, che non contiene lettere.
L'unicità della rappresentazione permette di capire agevolmente se due parole diverse rappresentano lo stesso elemento.
Cardinalità
[modifica | modifica wikitesto]Se e sono due gruppi non banali, allora il prodotto libero ha cardinalità infinita. Infatti, presi un elemento in e in entrambi diversi dall'elemento neutro, il sottogruppo da loro generato è certamente infinito, perché contiene infiniti elementi di questo tipo:
Questi elementi sono tutti distinti perché espressi in forma ridotta.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]Gruppo libero
[modifica | modifica wikitesto]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Topological_Rose.png/220px-Topological_Rose.png)
Il gruppo libero di ordine è il gruppo
ottenuto come prodotto libero di copie del gruppo degli interi .
Prodotto di gruppi ciclici
[modifica | modifica wikitesto]Il gruppo
può essere descritto come segue. Ciascun gruppo ha un solo elemento non banale: siano e gli elementi non banali dei due gruppi. Gli elementi del prodotto libero sono esattamente le parole seguenti:
Il sottogruppo generato da
ha indice 2 ed è isomorfo a .
Applicazioni
[modifica | modifica wikitesto]L'operazione di prodotto libero è molto importante in topologia, perché legata a un'operazione chiamata bouquet. Questa operazione consiste nel costruire uno spazio topologico a partire da due spazi dati e , identificando un punto di con uno di . Il nuovo spazio topologico è generalmente indicato con il simbolo
Se gli spazi topologici e sono connessi per archi e abbastanza "buoni" (cioè sono localmente contrattili) il gruppo fondamentale del bouquet è il prodotto libero dei gruppi fondamentali di e :
Questo fatto è conseguenza del teorema di Van Kampen. Ad esempio, il gruppo fondamentale di un bouquet di circonferenze è il gruppo libero di ordine .
Il gruppo fondamentale di un bouquet di due piani proiettivi è
prodotto libero di due gruppi ciclici. Tale gruppo è infinito.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ (EN) A.L. Shmel'kin, Free product of groups, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.