Nell'ambito della teoria della probabilità, il processo telegrafico casuale è un processo stocastico senza memoria e continuo nel tempo che può assumere due soli valori. Spesso viene impiegato come modello per la descrizione del rumore burst (spesso chiamato anche rumore popcorn o rumore telegrafico casuale). Detti ${\displaystyle c_{1}}$ e ${\displaystyle c_{2}}$ i due possibili valori che la variabile casuale può assumere, il processo può essere descritto a partire dalle seguenti equazioni differenziali:

${\displaystyle \partial _{t}P(c_{1},t|x,t_{0})=-\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})+\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0})}$

e

${\displaystyle \partial _{t}P(c_{2},t|x,t_{0})=\lambda _{1}P(c_{1},t|x,t_{0})-\lambda _{2}P(c_{2},t|x,t_{0})}$

dove ${\displaystyle \lambda _{1}}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}}$ indicano, rispettivamente, i tassi di transizione da ${\displaystyle c_{1}}$ a ${\displaystyle c_{2}}$ e da ${\displaystyle c_{2}}$ a ${\displaystyle c_{1}}$, e ${\displaystyle P(c_{i},t|x,t_{0})}$ indica la probabilità congiunta che il sistema all'istante ${\displaystyle t}$ si trovi nello stato ${\displaystyle c_{i}}$ quando al tempo ${\displaystyle t_{0}<t}$ si trovava nello stato ${\displaystyle x}$. Questo tipo di processo prende anche il nome di processo di Kac (dal matematico Mark Kac).^[1]

Il sistema di equazioni differenziali può essere riscritto in forma compatta introducendo il vettore di densità di probabilità ${\displaystyle \mathbf {P} =[P(c_{1},t|x,t_{0}),P(c_{2},t|x,t_{0})]}$, così che questo diventi:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {P} }{dt}}=W\mathbf {P} }$

dove la matrice:

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}-\lambda _{1}&\lambda _{2}\\\lambda _{1}&-\lambda _{2}\end{pmatrix}}}$

prende il nome di matrice del tasso di transizione. La soluzione del sistema, ${\displaystyle \mathbf {P} (t)}$, si ottiene definendo la condizione iniziale ${\displaystyle \mathbf {P} (0)}$, la quale descrive che all'istante ${\displaystyle t_{0}}$ il sistema si trova nello stato ${\displaystyle x\in \{c_{1},c_{2}\}}$. Se ${\displaystyle \mathbf {P} (0)}$ è definita, la generica soluzione può essere scritta come:

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=e^{Wt}\mathbf {P} (0)}$.

dove il termine ${\displaystyle e^{Wt}}$ indica l'operazione di matrice esponenziale. Si può mostrare che vale l'uguaglianza:^[2]

${\displaystyle e^{Wt}=I+W{\frac {(1-e^{-2\lambda t})}{2\lambda }}}$

dove ${\displaystyle I}$ è la matrice identità e ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1}+\lambda _{2})/2}$ è il tasso di transizione medio. Nel limite di ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$, la soluzione approccia il regime stazionario ${\displaystyle \mathbf {P} (t\rightarrow \infty )=\mathbf {P} _{s}}$ dato da:

${\displaystyle \mathbf {P} _{s}={\frac {1}{2\lambda }}{\begin{pmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{1}\end{pmatrix}}}$

Destra: evoluzione nel tempo della media di un processo telegrafico casuale. Sinistra: evoluzione nel tempo della varianza di un processo telegrafico casuale. Il risultato è ottenuto da una simulazione Monte Carlo.

La dipendenza dallo stato iniziale decade esponenzialmente nel tempo. Ciò implica che se il sistema viene inizialmente osservato all'istante ${\displaystyle t_{0}}$, una successiva osservazione all'istante ${\displaystyle t=t_{0}+\Delta t}$, supposto che valga ${\displaystyle \Delta t\gg (2\lambda )^{-1}}$, darà un risultato totalmente indipendente dallo stato osservato a ${\displaystyle t_{0}}$. Più precisamente, all'istante ${\displaystyle t}$ il sistema avrà raggiunto lo stato stazionario, indicato dal pedice s e caratterizzato da:

• Media:

${\displaystyle \langle X\rangle _{s}={\frac {c_{1}\lambda _{2}+c_{2}\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

• Varianza:

${\displaystyle \operatorname {var} \{X\}_{s}={\frac {(c_{1}-c_{2})^{2}\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{2}}}.}$

è possibile anche calcolare la funzione di correlazione, che vale:

${\displaystyle \langle X(t),X(u)\rangle _{s}=e^{-2\lambda |t-u|}\operatorname {var} \{X\}_{s}.}$

Il processo telegrafico trova ampio impiego nella modellistica di diversi fenomeni:

• In finanza, per descrivere i prezzi delle azioni^[1]
• In biologia, per descrivere i processi di binding e unbinding del fattore di trascrizione
• In fisica, per descrivere le proprietà dicotomiche dei sistemi di spin e dell'intermittenza di fluorescenza
• In elettronica, per descrivere le fluttuazioni di corrente indotte dal cambio di occupazione dei difetti microscopici presenti nei dispositivi microelettronici

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