Problema dei servizi

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In topologia e teoria dei grafi, il problema dei servizi affronta questioni che si richiamano al classico quesito:

«In una pianura vi sono tre case $X_{1},X_{2},X_{3}$ e tre pozzi $Y_{1},Y_{2},Y_{3}$ . Tracciare delle strade, da ciascuna casa a ciascun pozzo, senza che alcuna di esse si intersechi mai fuori dei pozzi e delle case.»

Apparentemente di immediata soluzione, il problema delle tre case e dei tre pozzi fa sorridere gli ingenui, ma fa pensare i matematici. La soluzione è possibile soltanto se i tre soggetti sono disposti a costruire un cavalcavia in modo che almeno uno di loro vi passi sotto ed un altro vi passi sopra.

Il primo matematico a affrontare e risolvere esaustivamente questo problema è stato Fermat, nel 1643, che ne pubblicò la soluzione trovata accidentalmente durante uno studio sulla fattorizzazione grafica dei grandi numeri.

Generalizzazione

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Il quesito si generalizza con il seguente enunciato:

«Dati $q$ utenti $X_{1},X_{2},...,X_{q}$ e $q$ servizi $Y_{1},Y_{2},...,Y_{q}$ , determinare il grafo ciambellare, ordinario, bipartito, dove ciascun $X_{i}$ è correlato ad ogni $Y_{i}$ e viceversa.»

Per grafo ciambellare si intende tracciato su ciambella; per grafo ordinario si intende non "intrecciato", cioè ogni arco ha in comune con altri archi soltanto i nodi estremi.

Problema dei servizi – Studi (1).
Problema dei servizi – Studi (2).
Problema dei servizi – Studi (4).
Problema dei servizi – Studi (5).

Bibliografia

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Luigi Muracchini, Introduzione alla teoria dei grafi, Torino, Boringhieri, 1967.
Romano del Nord, I modelli grafo-matematici e la progettazione, Firenze, CLUSF (Cooperativa Libraria Universitaria), 1972.