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In matematica, un ovale di Cassini è un luogo geometrico di punti del piano tali che, considerati due punti del piano fissati e è costante il prodotto della distanza di da per la distanza di da Formalmente, se denotiamo con la distanza tra due punti e del piano, i punti di un ovale di Cassini soddisfano l'equazione:
nella quale è un reale positivo.
I punti e sono detti fuochi dell'ovale.
Gli ovali di Cassini prendono il loro nome dall'astronomo Giovanni Domenico Cassini; talora sono chiamati ovali cassiniani.
Se consideriamo che i fuochi siano e per un reale positivo i punti dell'ovale soddisfano l'equazione:
Equazioni equivalenti in coordinate cartesiane sono:
e
Un'equazione equivalente in coordinate polari è
La forma dell'ovale dipende dal rapporto Quando è maggiore di 1, il luogo è costituito da un singolo cappio connesso. Quando è inferiore a 1, il luogo è costituito da due cappi sconnessi. Quando il luogo si riduce a una lemniscata.
Se la curva è razionale, ma in generale l'ovale di Cassini presenta una coppia di punti doppi all'infinito nel piano proiettivo complesso, per e e nessun'altra singolarità; essa quindi è una curva algebrica piana di genere 1, e quindi è birazionalmente equivalente a una curva ellittica.
Applicando un'omotetia, più precisamente sostituendo con e con otteniamo la famiglia di curve a un parametro caratterizzate dell'equazione
che ha come j-invariante
Si osservi che la definizione dell'ovale di Cassini si può comparare con la definizione di ellisse, curva per la quale è costante, invece che il prodotto delle distanze, la somma delle distanze
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Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Cassinian Archiviato il 17 agosto 2011 in Internet Archive. in MacTutor
- (EN) Cassini Ovals in MathWorld
- (EN) Cassini(an) oval 2Dcurves.com