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Motivo: Mi pare che si faccia confusione fra traslazioni infinitesime e traslazioni finite. Una traslazione finita è un operatore unitario. Il generatore infinitesimo di un gruppo a un parametro di traslazioni, è una componente dell'impulso, ed è un operatore hermitiano. Qui si definisce "traslazione infinitesima" il troncamento al primo ordine di una traslazione finita, e questo troncamento non dà un operatore unitario né hermitiano. Alcuni passaggi delle dimostrazioni sono sbagliati, in altri per dimostrare un assunto si usa proprio la proprietà che si vuole dimostrare.

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L'operatore di traslazione spaziale in meccanica quantistica è un operatore che agisce su uno stato della posizione della particella e lo trasforma in un altro stato della posizione.

Consideriamo una particella quantistica che si trovi in uno stato ben localizzato nel senso della probabilità intorno alla posizione ${\displaystyle {\vec {x}}'}$ e sia ${\displaystyle |{\vec {x}}'\rangle }$ l'autovettore che rappresenta lo stato in questione. Vogliamo eseguire una trasformazione che trasli questo stato in un altro stato ben localizzato nella posizione ${\displaystyle {\vec {x}}'+d{\vec {x}}'}$. Per fare ciò introduciamo un operatore: l'operatore di traslazione spaziale infinitesima ${\displaystyle T(d{\vec {x}}')}$ che agisce in modo tale:

(1)${\displaystyle T(d{\vec {x}}')|{\vec {x}}'\rangle =|{\vec {x}}'+d{\vec {x}}'\rangle }$

Consideriamo uno stato arbitrario ${\displaystyle |\alpha \rangle }$, l'azione dell'operatore di traslazione infinitesima su questo stato è quello di traslarlo di una quantità ${\displaystyle d{\vec {x}}'}$:

(2)${\displaystyle T(d{\vec {x}}')|\alpha \rangle =T(d{\vec {x}}')\int d^{3}x'\,|{\vec {x}}'\rangle \langle {\vec {x}}'|\alpha \rangle =\int d^{3}x'\,|{\vec {x}}'+d{\vec {x}}'\rangle \langle {\vec {x}}'|\alpha \rangle =\int d^{3}x'\,|{\vec {x}}'\rangle \langle {\vec {x}}'-d{\vec {x}}'|\alpha \rangle }$

Vediamo che proprietà deve avere l'operatore di traslazione infinitesima. Innanzitutto lo stato ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ deve essere normalizzato a 1, quindi:

${\displaystyle \langle \alpha |\alpha \rangle =\langle \alpha |T^{\dagger }(d{\vec {x}}')T(d{\vec {x}}')|\alpha \rangle =1}$

e questo implica che

${\displaystyle T^{\dagger }(d{\vec {x}}')T(d{\vec {x}}')=1}$

cioè l'operatore di traslazione infinitesimo deve essere unitario. Inoltre per ${\displaystyle d{\vec {x}}'\to 0}$ il nostro operatore deve eseguire una trasformazione unitaria, cioè deve ridursi all'operatore identità. Infine l'applicazione successiva dell'operatore due volte, cioè eseguire due traslazioni consecutive infinitesime deve portare ad una traslazione somma:

${\displaystyle T(d{\vec {x}}')T(d{\vec {x}}'')=T(d{\vec {x}}'+d{\vec {x}}'')}$

Queste proprietà portano alla definizione dell'operatore di traslazione infinitesima:

(3)${\displaystyle T(d{\vec {x}}')=I-i{\vec {K}}\cdot d{\vec {x}}'}$

dove I è l'operatore identità e ${\displaystyle {\vec {K}}=(K_{x},K_{y},K_{z})}$ è il generatore delle traslazioni spaziali, dato che deve valere anche l'identità:

${\displaystyle T^{\dagger }(d{\vec {x}}')T(d{\vec {x}}')=\left(I+i{\vec {K}}^{\dagger }\cdot d{\vec {x}}'\right)\left(I-i{\vec {K}}\cdot d{\vec {x}}'\right)=I-i({\vec {K}}-{\vec {K}}^{\dagger })d{\vec {x}}'+O(d{\vec {x}}'^{2})\simeq I}$

Si trova che il generatore deve essere hermitiano:

${\displaystyle {\vec {K}}={\vec {K}}^{\dagger }}$

e questo prova anche che l'operatore ${\displaystyle T(d{\vec {x}}')}$ è un operatore unitario. Inoltre si può verificare che due traslazioni successive:

${\displaystyle T(d{\vec {x}}'')T(d{\vec {x}}')=\left(I-i{\vec {K}}\cdot d{\vec {x}}''\right)\left(I-i{\vec {K}}\cdot d{\vec {x}}'\right)=I-i{\vec {K}}\cdot (d{\vec {x}}''+d{\vec {x}}')=T(d{\vec {x}}'+d{\vec {x}}'')}$

Inoltre è ovvio che:

${\displaystyle \lim _{d{\vec {x}}'\to 0}T(d{\vec {x}}')=\lim _{d{\vec {x}}'\to 0}I-i{\vec {K}}d{\vec {x}}'=I}$

e inoltre che:

${\displaystyle T(-d{\vec {x}}')=T^{-1}(d{\vec {x}}')}$

Per vedere quale sia il generatore delle traslazioni possiamo utilizzare un'analogia con la meccanica classica: eseguiamo cioè una trasformazione canonica infinitesima delle coordinate generalizzate, lasciando invariati gli impulsi:

${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {x}}+d{\vec {x}}\,,\,\,\,\,\,{\vec {P}}={\vec {p}}}$

La funzione che genera tale trasformazione canonica è:

${\displaystyle \Phi ={\vec {x}}\cdot {\vec {P}}+{\vec {p}}\cdot d{\vec {x}}}$

dove ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {P}}}$ genera una trasformazione identica. Questa funzione generatrice è molto simile alla (3), quindi possiamo supporre che ${\displaystyle {\vec {K}}}$ coincida a meno di un fattore costante con l'impulso. Il fattore costante in questione è la costante di Planck ridotta poiché essa permette all'operatore di essere adimensionale, quindi in definitiva la (3) dice che l'operatore di traslazione infinitesima:

(4)${\displaystyle T(d{\vec {x}}')=I-{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}\cdot d{\vec {x}}'}$

Poiché una traslazione finita ${\displaystyle \Delta x'}$ che supponiamo sia sull'asse x può essere considerata come il prodotto di N traslazioni infinitesime ${\displaystyle \Delta x'/N}$:

${\displaystyle T(\Delta x')=\lim _{N\to \infty }\left(1-{\frac {ip_{x}\Delta x'}{\hbar N}}\right)^{N}=\lim _{N\to \infty }e^{N\ln \left(1-{\frac {ip_{x}\Delta x'}{\hbar N}}\right)}=e^{-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}\Delta x'}}$

Una caratteristica delle traslazioni è che traslazioni successive su assi diversi commutano. Prendiamo per esempio una traslazione prima sull'asse x e successivamente sull'asse y:

${\displaystyle T_{y}(\Delta y')T_{x}(\Delta x')=T(\Delta x'+\Delta y')}$

è matematicamente identica ad eseguire prima una traslazione sull'asse y e successivamente sull'asse x:

${\displaystyle T_{x}(\Delta x')T_{y}(\Delta y')=T(\Delta x'+\Delta y')}$

cioè traslazioni su assi diversi commutano, sviluppando al secondo ordine l'operatore di traslazione deve risultare:

${\displaystyle \left[T_{x}(\Delta x'),T_{y}(\Delta y')\right]=\left[\left(1-{\frac {ip_{x}\Delta x'}{\hbar }}-{\frac {p_{x}^{2}\Delta {x'}^{2}}{2\hbar ^{2}}}+\dots \right),\left(1-{\frac {ip_{y}\Delta y'}{\hbar }}-{\frac {p_{y}^{2}\Delta y'^{2}}{2\hbar ^{2}}}+\dots \right)\right]=-{\frac {1}{\hbar ^{2}}}[p_{x},p_{y}]\Delta x'\Delta y'+\dots =0}$

questo perché le componenti dell'operatore impulso commutano:

${\displaystyle [p_{i},p_{j}]=0}$

e queste rappresentano altre relazioni fondamentali di commutazione, che sono anche alla base del principio di indeterminazione di Heisenberg. Infatti come si può verificare facilmente la commutazione tra l'operatore posizione e l'operatore di traslazione spaziale, considerando le componenti:

${\displaystyle -{\frac {i}{\hbar }}[x_{i}p_{j}-p_{j}x_{i}]=\delta _{ij}}$

questo vuol dire che:

${\displaystyle [x_{i},p_{j}]=i\hbar \delta _{ij}}$

e ciò dimostra che le coordinate e le componenti dell'impulso lungo gli stessi assi non possono essere misurati simultaneamente. Le tre relazioni:

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=0}$

${\displaystyle [p_{i},p_{j}]=0}$

${\displaystyle [x_{i},p_{j}]=i\hbar \delta _{ij}}$

sono chiamate regole di commutazione canoniche quantistiche fondamentali.

Il principio di indeterminazione che in generale si scrive:

${\displaystyle \langle (\Delta A)^{2}\rangle \langle (\Delta B)^{2}\rangle \geq {\frac {1}{4}}|\langle [A,B]\rangle |^{2}}$

per la posizione e l'impulso in una dimensione diventa:

${\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p_{x}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

• Jun J. Sakurai e Jim Napolitano, Meccanica quantistica moderna, Bologna, Zanichelli, 2014, ISBN 978-88-08-26656-9.
• Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšic, Meccanica quantistica, teoria non relativistica, Roma, Editori Riuniti, 2004, ISBN 978-88-35-95606-8.

• Osservabile
• Operatore posizione
• Operatore impulso
• Operatore hamiltoniano
• Operatore di evoluzione temporale

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