L'operatore di inversione temporale è un operatore utilizzato in meccanica quantistica; modifica lo stato a cui viene applicato dando luogo a un nuovo stato "temporalmente invertito".

L'azione dell'operatore di inversione temporale su un sistema fisico è più propriamente descritta come inversione del moto, anziché come inversione del tempo. Si consideri il moto di una particella soggetta ad un certo potenziale; immaginando, in un certo istante di tempo ${\displaystyle t}$ di bloccare la particella e sostituire la sua quantità di moto ${\displaystyle \mathbf {p} }$ con ${\displaystyle \mathbf {-p} }$, la particella torna indietro ripercorrendo (nel verso opposto) la stessa traiettoria. In altre parole, se la curva ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ è soluzione dell'equazione del moto (non dissipativa):

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=-\nabla V(\mathbf {x} )}$

allora anche ${\displaystyle \mathbf {x} (-t)}$ soddisfa l'equazione del moto. ${\displaystyle \mathbf {x} (-t)}$ rappresenta la soluzione temporalmente invertita.

Dato uno stato ${\displaystyle |\alpha \rangle }$, lo stato temporalmente invertito si ottiene applicando ad ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ l'operatore di inversione temporale, indicato con ${\displaystyle \Theta }$:

${\displaystyle |\alpha \rangle \rightarrow \Theta |\alpha \rangle }$

Una proprietà fondamentale dell'operatore di inversione temporale è l'antiunitarietà.

Un operatore antiunitario applicato ad uno stato realizza una trasformazione

${\displaystyle |{\tilde {\alpha }}\rangle =\theta |\alpha \rangle }$

${\displaystyle |{\tilde {\beta }}\rangle =\theta |\beta \rangle }$

che soddisfa le seguenti due proprietà

${\displaystyle \langle {\tilde {\beta }}|{\tilde {\alpha }}\rangle =\langle \beta |\alpha \rangle ^{*}}$

${\displaystyle \theta \left[a|\alpha \rangle +b|\beta \rangle \right]=a^{*}\theta |\alpha \rangle +b^{*}\theta |\beta \rangle }$

(la seconda relazione definisce un operatore antilineare)

Un generico operatore antiunitario può essere scritto come prodotto di due operatori

${\displaystyle \theta =U\cdot K}$

dove ${\displaystyle U}$ è un operatore unitario e ${\displaystyle K}$ coniuga il numero a cui è moltiplicato.

L'azione dell'operatore ${\displaystyle K}$ su uno stato non modifica i ket di base. Infatti uno stato ${\displaystyle |\alpha \rangle }$, scritto come combinazione lineare di autostati ${\displaystyle |\phi '\rangle }$

${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{\phi '}|\phi '\rangle \langle \phi '|\alpha \rangle }$

si trasforma, sotto l'azione di ${\displaystyle K}$ nel modo seguente:

${\displaystyle K|\alpha \rangle =\sum _{\phi '}\langle \phi '|\alpha \rangle ^{*}K|\phi '\rangle =\sum _{\phi '}\langle \phi '|\alpha \rangle ^{*}|\phi '\rangle }$.

Indicando con ${\displaystyle |\psi \rangle }$ uno stato al tempo ${\displaystyle t=0}$, lo stato ${\displaystyle |\psi ,t\rangle }$ corrispondente ad un istante immediatamente successivo ${\displaystyle t=\delta t}$ si ottiene applicando l'operatore di evoluzione temporale (in forma infinitesima):

${\displaystyle |\psi ,t\rangle =\left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\delta t\right)|\psi \rangle }$.

Facendo evolvere allo stesso modo lo stato prima invertito temporalmente si ottiene:

${\displaystyle \left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\delta t\right)\Theta |\psi \rangle }$.

Per sistemi simmetrici sotto inversione temporale questo stato deve coincidere con quello che si ottiene facendo prima "evolvere all'indietro" ${\displaystyle |\psi \rangle }$ e poi applicando l'operatore di inversione temporale:

${\displaystyle \left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\delta t\right)\Theta |\psi \rangle =\Theta \left(1-{\frac {iH}{\hslash }}\left(-\delta t\right)\right)|\psi \rangle }$,

da cui si ricava:

${\displaystyle -iH\Theta |\psi \rangle =\Theta iH|\psi \rangle }$.

Siccome il ragionamento è valido per ogni ket ${\displaystyle |\psi \rangle }$, si può scrivere

${\displaystyle -iH\Theta =\Theta iH}$.

L'antiunitarietà di ${\displaystyle \Theta }$ porta alla seguente relazione:

${\displaystyle \Theta H=H\Theta }$.

In altre parole l'hamiltoniana di un sistema simmetrico sotto inversione temporale commuta con l'operatore ${\displaystyle \Theta }$:

${\displaystyle [H,\Theta ]=0}$

• Jun John Sakurai, 4.4, in Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, febbraio 1990, pp. 262-277, ISBN 88-08-12706-0.

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