L'operatore di Stokes, che prende il nome da George Gabriel Stokes, è un operatore lineare limitato usato nella teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, particolarmente in fluidodinamica ed elettromagnetismo.

L'operatore di Stokes ${\displaystyle A}$ è definito come

${\displaystyle A:=-P_{\sigma }\Delta ,}$

dove ${\displaystyle P_{\sigma }}$ è la proiezione di Leray e ${\displaystyle \Delta \equiv \nabla ^{2}}$ è il laplaciano. ${\displaystyle A}$ è definito su ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=H^{2}\cap V}$, dove ${\displaystyle V=\{{\vec {u}}\in (H_{0}^{1}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0\}}$. ${\displaystyle \Omega }$ è un insieme aperto limitato in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle H^{2}(\Omega )}$ e ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ sono spazi di Sobolev, e la divergenza di ${\displaystyle {\vec {u}}}$ è nel senso delle distribuzioni.

Per un dato dominio ${\displaystyle \Omega }$ aperto, limitato e con contorno in ${\displaystyle C^{2}}$, l'operatore di Stokes ${\displaystyle A}$ è un operatore autoaggiunto definito positivo rispetto al prodotto interno di ${\displaystyle L^{2}}$. Ha una base ortonormale di autofunzioni ${\displaystyle \{w_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ che corrispondono agli autovettori ${\displaystyle \{\lambda _{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ che soddisfa

${\displaystyle 0<\lambda _{1}<\lambda _{2}\leq \lambda _{3}\cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots }$

con ${\displaystyle \lambda _{k}\rightarrow \infty }$ per ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$. Il più piccolo degli autovettori è unico e non nullo. Queste proprietà permettono di definire le potenze dell'operatore di Stokes. Sia ${\displaystyle \alpha >0}$ un numero reale, allora ${\displaystyle A^{\alpha }}$ può essere definito tramite la sua azione su ${\displaystyle {\vec {u}}\in {\mathcal {D}}(A)}$:

${\displaystyle A^{\alpha }{\vec {u}}=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{\alpha }u_{k}{\vec {w_{k}}}}$

dove ${\displaystyle u_{k}:=({\vec {u}},{\vec {w_{k}}})}$ e ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ è il prodotto interno di ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$.

L'inverso ${\displaystyle A^{-1}}$ dell'operatore di Stokes è un operatore compatto e autoaggiunto nello spazio ${\displaystyle H:=\{{\vec {u}}\in (L^{2}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0{\text{ e }}\gamma ({\vec {u}})=0\}}$, dove ${\displaystyle \gamma }$ è l'operatore traccia. Inoltre, ${\displaystyle A^{-1}:H\rightarrow V}$ è iniettivo.

• Roger Temam, Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, AMS Chelsea Publishing, 2001, ISBN 0-8218-2737-5.
• Constantin, Peter and Foias, Ciprian. Navier-Stokes Equations, University of Chicago Press, (1988)

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