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In algebra lineare per matrice involutoria si intende una matrice che coincide con la propria inversa; si tratta quindi di un caso particolare di matrice invertibile. In particolare le matrici involutive o involuzioni soddisfano l'equazione:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}=I}$

che impone per gli autovalori i valori +1 e -1. Alcune matrici involutorie sui reali sono interpretabili come trasformazioni lineari involutorie di uno spazio Rⁿ in sé e più concretamente come riflessioni.

Si vede facilmente che anche la matrice opposta di una involutoria è una matrice involutoria.

Questi sono alcuni esempi di matrici involutorie che, come si può vedere abbastanza facilmente, rappresentano riflessioni in R²

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\sin \theta &\cos \theta \\\cos \theta &-\sin \theta \end{bmatrix}}}$

e in R³

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\sin \theta &0&\cos \theta \\0&-1&0\\\cos \theta &0&-\sin \theta \end{bmatrix}}}$

Altri esempi di matrici involutorie:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&i\\-i&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&-1\\0&0&0&1&0\\0&0&-1&0&0\end{bmatrix}}}$

• Matrice nilpotente
• Glossario sulle matrici

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice involutoria, su MathWorld, Wolfram Research.

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