In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di trasformazione, anche detta matrice associata ad una trasformazione o matrice rappresentativa dell'operatore rispetto alle sue basi, è la matrice che rappresenta una trasformazione lineare fra spazi vettoriali rispetto ad una base per ciascuno degli spazi.
Fissata una base per il dominio e una per il codominio, ogni trasformazione lineare è descrivibile tramite una matrice nel modo seguente:
dove è il vettore colonna delle coordinate di un punto del dominio rispetto alla base del dominio e è il vettore colonna delle coordinate dell'immagine, mentre il prodotto è il prodotto righe per colonne.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Siano e due spazi vettoriali su un campo di dimensione finita, e una applicazione lineare. Siano:
due basi rispettivamente per e .
La matrice associata a nelle basi e è la matrice avente nella -esima colonna le coordinate del vettore rispetto alla base :[1]
dove la colonna è l'immagine dell'-esimo vettore della base di partenza scritta attraverso le coordinate rispetto alla base di arrivo .[2]
Gli elementi di sono quindi tali che:
e si ha:
In modo equivalente si può scrivere:
Dove le parentesi quadre indicano le coordinate rispetto alla base relativa.
La corrispondenza biunivoca definita fra applicazioni lineari e matrici è un isomorfismo fra lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari da in e lo spazio delle matrici :[3]
Tale isomorfismo dipende dalle basi scelte per entrambi gli spazi.
Composizione di applicazioni lineari
[modifica | modifica wikitesto]Nella rappresentazione di applicazioni attraverso le matrici la composizione di funzioni si traduce nell'usuale prodotto fra matrici. Si considerino le applicazioni lineari:
Siano e le rispettive matrici rappresentative rispetto a tre basi dei relativi spazi. Si ha:
ovvero la matrice associata alla composizione è il prodotto delle matrici associate a e a .[4]
Dette , basi rispettivamente di e si ha:
Endomorfismi
[modifica | modifica wikitesto]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Determinant_Example.png/240px-Determinant_Example.png)
In presenza di un endomorfismo è naturale scegliere la stessa base in partenza ed in arrivo. Sia tale base e sia la matrice associata a rispetto alla base . Si ha allora:[3]
In particolare, è una matrice quadrata .
Molte proprietà dell'endomorfismo possono essere lette attraverso la matrice rappresentativa:
- è l'identità se e solo se è la matrice identica.
- è la funzione costantemente nulla se e solo se è la matrice nulla.
- è biunivoca se e solo se è invertibile, ovvero se ha determinante diverso da zero.
- preserva l'orientazione dello spazio se , mentre la inverte se
Altre proprietà più complesse delle applicazioni lineari, come la diagonalizzabilità, possono essere più facilmente studiate attraverso la rappresentazione matriciale.
Matrici simili
[modifica | modifica wikitesto]Due matrici quadrate e sono simili quando esiste una matrice invertibile tale che:[5][6]
In particolare, la matrice identità e la matrice nulla sono simili solo a se stesse.
Le matrici simili rivestono notevole importanza, dal momento che due matrici simili rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due basi diverse.[7] Se e sono due basi dello spazio vettoriale , dato un endomorfismo su si ha:
La matrice è la matrice di cambiamento di base dalla base alla base .
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]- Nel piano cartesiano, indicando con un punto generico, la trasformazione lineare viene rappresentata rispetto ad una qualsiasi base dalla matrice identità di ordine 2. Una tale trasformazione è conosciuta anche come funzione identità.
- Nel piano cartesiano, sia la riflessione rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. Le matrici associate a usando rispettivamente la base canonica e la base sono:
- Nel piano la rotazione di un angolo θ in senso antiorario intorno all'origine è lineare e definita da e . In forma matriciale si esprime con:
- Analogamente per una rotazione in senso orario attorno all'origine la funzione è definita da e ed in forma matriciale corrisponde alla trasposta della precedente matrice, ovvero:
- La funzione dallo spazio dei polinomi di grado al più due in sé, che associa ad un polinomio la sua derivata è lineare. La matrice associata rispetto alla base è:
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ S. Lang, Pag. 106.
- ^ Hoffman, Kunze, Pag. 87.
- ^ a b Hoffman, Kunze, Pag. 88.
- ^ Hoffman, Kunze, Pag. 90.
- ^ S. Lang, Pag. 115.
- ^ Hoffman, Kunze, Pag. 94.
- ^ Hoffman, Kunze, Pag. 92.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
- (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
- F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Base (algebra lineare)
- Coordinate di un vettore
- Matrice di cambiamento di base
- Similitudine fra matrici
- Trasformazione lineare
Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla matrice di trasformazione
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) The Matrix Page Practical examples in POV-Ray
- (EN) Reference page - Rotation of axes
- (EN) Linear Transformation Calculator, su idomaths.com.
- (EN) Transformation Applet - Generate matrices from 2D transformations and vice versa.