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Le logiche polivalenti sono estensioni della logica classica in cui sono presenti più valori di verità rispetto ai canonici vero, falso e pertanto in esse non vale il principio del terzo escluso. Le prime logiche polivalenti furono proposte negli anni 1920 da Emil Post e da Jan Łukasiewicz e in esse erano presenti tre valori di verità: vero, falso, problematico.

Successivamente si è giunti a proporre logiche ad infiniti valori di verità quali:

• la logica ad infiniti valori di Lukasiewicz;
• la logica fuzzy di Lotfi Zadeh;
• la logica polivalente di Gödel;^[1]
• la logica L-fuzzy di Joseph Goguen;^[2]

In tale formulazione si hanno le seguenti::

${\displaystyle x\,\operatorname {AND} \,y=min(v(x),v(y))}$

${\displaystyle x\,\operatorname {OR} \,y=max(v(x),v(y))}$

${\displaystyle \operatorname {NOT} \,x=1}$ se ${\displaystyle v(x)=0}$ e ${\displaystyle 0}$ altrimenti.

In tale formulazione si hanno le seguenti::

${\displaystyle x\,\operatorname {AND} \,y=v(x)v(y)}$

${\displaystyle x\,\operatorname {OR} \,y=v(x)+v(y)-v(x)v(y)}$

${\displaystyle \operatorname {NOT} \,x=1}$ se ${\displaystyle v(x)=0}$ e ${\displaystyle 0}$ altrimenti.

È interessante osservare come nelle logiche "fuzzy" di Gödel e "fuzzy" prodotto si neghi il principio della doppia negazione, come anche nella logica intuizionista, al fine di mantenere vera la forma standard del principio di non-contraddizione. In particolare, a causa della particolare definizione dell'operatore NOT si hanno:

P → ¬¬P è un teorema

¬¬P → P non è teorema.

¬P → ¬¬¬P è un teorema.

¬¬¬P → ¬P è un teorema.

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Una T-norma o norma triangolare o AND generalizzato è una applicazione T: [0,1] × [0,1] → [0,1] che soddisfa i seguenti requisiti:

• Commutatività: T(a, b) = T(b, a);
• Monotonia: T(a, b) ≤ T(c, d) se a ≤ c e b ≤ d;
• Associatività: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c);
• Elemento nullo: T(a, 0) = 0;
• 1 agisce come elemento identità: T(a, 1) = a.

Le t-norme sono state utilizzate per interpretare il connettivo di congiunzione.

Esempi di t-norme sono il minimo, il prodotto e la t-norma di Lukasiewicz definita da T(x,y)=max(0,x+y-1).

Se la t-norma è una funzione continua a sinistra, allora è possibile definire la funzione x → y = max { z: T(x,z) ≤ y } che può essere utilizzata per interpretare in connettivo di implicazione. Avendo a disposizione l'implicazione si può definire la negazione come ¬x = x → 0.

Nel caso in cui si parte dalla t-norma di Lukasiewicz, si ottiene: x → y = min{ 1, 1-x+y} (implicazione di Lukasiewicz) e ¬x = 1-x (negazione involutiva).

Nota che la negazione involutiva è tale che ¬¬x=x.

• Logica fuzzy
• principio del terzo escluso
• principio di bivalenza

• (EN) Petr Cintula, Christian G. Fermüller, Carles Noguera, Fuzzy logic, in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.
• (EN) Siegfried Gottwald, Many-valued logic, in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.

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