In geometria, un limone è una superficie di rotazione ottenuta dalla rivoluzione di un arco circolare sotteso da un angolo al centro inferiore a 180° attorno a un asse passante per le estremità dell'arco stesso. Di contro, la superficie ottenuta dalla rotazione dell'arco complementare al suddetto angolo attorno al medesimo asse è detta mela.

Le due forme unite assieme formano un cosiddetto toro autointersecante, ossia un toro generato dalla rivoluzione di una circonferenza intorno a un asse ad essa complanare e secante, laddove il limone costituisce la superficie interna del toro e forma il confine di un insieme convesso.^[1]

Dato un limone generato dalla rotazione di un arco circolare di raggio ${\displaystyle R}$ e angolo al centro ${\displaystyle \phi }$ inferiore a ${\displaystyle \pi }$ attorno a una corda, e definendo l'angolo ${\displaystyle \phi _{m}}$ come angolo di ampiezza pari a metà dell'angolo al centro, la sua area è da:^[2]

${\displaystyle A=2\pi R^{2}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})d\phi }$

mentre è il suo volume è dato da:

${\displaystyle V=\pi R^{3}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})^{2}\cos \phi d\phi }$

Risolvendo analiticamente i due integrali sopra scritti si ha:

${\displaystyle A=4\pi R^{2}(\sin \phi _{m}-\phi _{m}\cos \phi _{m})}$

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}\left[\sin ^{3}\phi _{m}-{\tfrac {3}{4}}\cos \phi _{m}(2\phi _{m}-\sin 2\phi _{m})\right]}$

Le stesse espressioni di area e volume sono valide anche per la mela ottenuta dalla rotazione dell'arco complementare all'arco sopra considerato avente quindi un angolo al centro maggiore di ${\displaystyle \pi }$.

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul Limone

• (EN) Eric W. Weisstein, Limone, su MathWorld, Wolfram Research.

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