In algebra elementare la legge di annullamento del prodotto afferma che se due numeri reali danno prodotto zero allora almeno uno dei due fattori è zero. In formula:
Si può generalizzare questo concetto in algebra astratta, nella teoria degli anelli, con enunciato pressoché uguale, ove con zero si intenderà lo zero dell'anello[1]. Un anello per cui valga tale legge prende il nome di dominio di integrità.
È possibile dimostrare che la legge di annullamento del prodotto è sicuramente verificata sui corpi, in virtù dell'esistenza dell'elemento inverso rispetto al prodotto per ogni elemento diverso da 0.
Dimostrazione
[modifica | modifica wikitesto]Si assuma per assurdo che esista una coppia di elementi appartenenti a un corpo entrambi non nulli, tali che .
Moltiplicando a sinistra entrambi i membri per l'elemento inverso di e applicando le proprietà dei corpi si ottiene:
Poiché in un corpo
infatti
quindi, per la legge di cancellazione, si ha
e quindi
che contraddice l'ipotesi che entrambi gli elementi fossero non nulli.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ La proprietà inversa, ovvero che per ogni elemento x il prodotto , fa parte delle proprietà di base degli anelli
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- annullamento del prodotto, legge di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) Eric W. Weisstein, Legge di annullamento del prodotto, su MathWorld, Wolfram Research.