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L'inverso di un numero complesso ${\displaystyle z=a+ib\neq 0}$ è quel numero tale che moltiplicato per ${\displaystyle z}$ dà 1. Ovvero, indicando l'inverso con ${\displaystyle z^{-1}}$, è tale che:

${\displaystyle z\cdot z^{-1}=1}$

Conoscendo la norma ed il coniugato di ${\displaystyle z}$ è possibile calcolare ${\displaystyle z^{-1}}$ attraverso la formula:

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}}$

Ovvero, se ${\displaystyle z=a+ib}$ otteniamo

${\displaystyle z^{-1}={\frac {a-ib}{a^{2}+b^{2}}}}$

Nel caso di un numero reale ${\displaystyle a=a+i0}$ si ottiene banalmente:

${\displaystyle a^{-1}={\frac {a}{a^{2}}}={\frac {1}{a}}}$

Fissato il punto ${\displaystyle z}$ sul piano di Argand-Gauss è possibile costruire il punto ${\displaystyle z^{-1}}$ usando alcuni teoremi della geometria euclidea.

Si fissi il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso ${\displaystyle z}$ e si congiunga tale punto con l'origine ${\displaystyle O}$.

Si tracci la retta simmetrica alla retta ${\displaystyle {\overline {Oz}}}$ rispetto all'asse reale.

Si disegni la circonferenza di centro nell'origine e raggio 1 e si indichi con ${\displaystyle A}$ il punto di intersezione di tale circonferenza con la retta ${\displaystyle {\overline {Oz}}}$.

Si congiunga ${\displaystyle z}$ con il punto ${\displaystyle C}$${\displaystyle =\left(1,0\right)}$ e si conduca da ${\displaystyle A}$ la parallela alla retta ${\displaystyle {\overline {Cz}}}$.

Indicato con ${\displaystyle B}$ il punto di intersezione di tale parallela con l'asse reale, si disegni la circonferenza con centro nell'origine e raggio ${\displaystyle {\overline {OB}}}$.

Il punto di intersezione di tale circonferenza con la retta simmetrica della retta ${\displaystyle {\overline {Oz}}}$ rispetto all'asse reale è il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso ${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$.

Infatti, per la similitudine dei triangoli ${\displaystyle OAB}$ e ${\displaystyle OzC}$, si ha:

${\displaystyle Oz:OA=OC:OB\quad \Rightarrow \quad \left|z\right|:1=1:OB\quad \Rightarrow \quad OB={\frac {1}{|z|}}}$

D'altra parte, essendo ${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\left|z\right|^{2}}}}$ un multiplo di ${\displaystyle {\overline {z}}}$ avrà il suo stesso argomento, ovvero starà nella retta ${\displaystyle {\overline {O{\overline {z}}}}}$

Quindi il numero costruito è proprio ${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$ poiché ha modulo uguale ad ${\displaystyle {\overline {OB}}={\frac {1}{\left|z\right|}}}$ ed argomento opposto a quello di ${\displaystyle z}$.

Si fissi il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso ${\displaystyle z}$ e si tracci il complesso coniugato ${\displaystyle {\overline {z}}}$.

Si congiunga ${\displaystyle {\overline {z}}}$ con l'origine ${\displaystyle O}$.

Si disegni la circonferenza con centro nell'origine e raggio 1 e si conduca da ${\displaystyle {\overline {z}}}$ una delle due tangenti a tale circonferenza e si indichi con ${\displaystyle T}$ il punto di tangenza.

Si congiunga tale punto con l'origine e si conduca, sempre da ${\displaystyle T}$ la perpendicolare alla retta ${\displaystyle {\overline {O{\overline {z}}}}}$.

Il piede ${\displaystyle X}$ di tale perpendicolare è il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso ${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$.

Infatti, per il primo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo ${\displaystyle OT{\overline {z}}}$ si ha:

${\displaystyle {\overline {O{\overline {z}}}}:{\overline {OT}}={\overline {OT}}:{\overline {OX}}}$

ma, poiché ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$, si ha

${\displaystyle \left|z\right|:1=1:{\overline {OX}}\quad \Rightarrow \quad {\overline {OX}}={\frac {1}{\left|z\right|}}}$.

Il segmento ${\displaystyle {\overline {OX}}}$ è inoltre contenuto nella retta passante per l'origine e ${\displaystyle {\overline {z}}}$, quindi l'argomento è esattamente l'opposto di quello di ${\displaystyle z}$.

• Complesso coniugato
• Numero complesso
• Piano complesso
• Primo teorema di Euclide

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